INTEGRACIÓN MULTIPLE

Integración múltiple.

El cálculo de varias variables es una extensión del cálculo bidimensional o de una variable a más de una dimensión. Comúnmente utilizado en el espacio tridimensional. Por eso, así como la derivación tiene su abstracción multidimensional, la integración también la tiene. La integración múltiple es el proceso de encontrar las primitivas de una función de varias variables respecto a todas las variables independientes que dicha función posea. Generalmente la aplicación más directa es la integral definida, utilizada para encontrar áreas de regiones y volúmenes de superficies en el espacio.

Integral doble.

La doble integral es utilizada en funciones de dos variables independientes, de la forma z = f ( x , y ). La integral de esta función tiene la forma siguiente:

A la integral anterior se le llama integral iterada, pues el proceso se realiza por pasos. El orden de integración puede cambiar primero respecto a y y luego respecto a x o viceversa. El proceso consiste en integrar primero la función respecto a la primera variable y volver la otra constante para luego integrar ese resultado respecto a la variable restante. La doble integral definida se usa para encontrar áreas o volúmenes. Para encontrar áreas no es necesario contar con una función. Por ejemplo, el área de una circunferencia con centro en el origen de radio 1.

Para encontrar el área del círculo, que en este caso es igual a Pi, se pueden usar ambos ordenes de integración. Esto depende de lo siguiente. La ecuación de este círculo es:

La ecuación se puede despejar respecto a las dos variables. Lo más importante son los límites de integración. La región tipo I se obtiene al sumar las áreas de rectángulos verticales, como se acostumbra. En este caso, primero se integra respecto a y y luego respecto a x. Los límites de la primera integral son funciones de la forma y = f(x).

Entonces, la función se despeja respecto a y para encontrar los límites de integración de esa variable. Los límites de integración de x son siempre constantes y representan el rango en el que x se mueve; en este caso, el radio de la circunferencia.

Cuando los límites superior e inferior son idénticos a excepción del signo, se dice que existe simetría. Por ello, el límite inferior puede ser 0 y la integral completa se multiplica por 2. En este caso, por 4 pues los dos pares de límites son simétricos.

La integral se resuelve de la forma convencional. Se integra y se evalúa, dos veces:

En caso de la región tipo II, los rectángulos son horizontales y es la variable x la que depende de y. El despeje es al revés, y los límites de integración de y son iguales que los de x en el primer ejemplo.

La integral queda resuelta de esta forma:

Cuando una integral doble no contiene función en el argumento, el cálculo corresponde a un área limitada por los límites de integración. Cuando la integral doble sí contiene una función en el argumento, de la forma z = f( x, y ), el cálculo de la integral corresponde al volumen entre la superficie en el espacio representada por dicha función y una región representada por los límites de integración. Por ejemplo la función de la esfera con centro en el origen y radio 1:

Se despeja la función respecto a z. En este caso, solo se calculara el volumen de la mitad superior de la esfera para ocupar la raíz positiva. La integral se multiplicará por 2 para obtener el volumen total. En ese caso, el orden de integración puede ser el que sea. Por naturalidad, se usará una región tipo I. La región sobre el plano xy desde la cuál se mide el volumen hasta la superficie es una circunferencia con centro en el origen con radio 1. Se puede obtener igualando z a 0. Los límites de x y y quedan como sigue:

La integral, entonces, se plantea de la siguiente manera:

Como los límites de integración de ambas variables presentan simetría, la integral puede empezar desde 0 en ambos y se multiplica por 4:

La resolución de la integral es compleja pues convergen varios métodos de integración. Pero el resultado, que es constante, equivale al resultado de calcular el volumen de la esfera por la ecuación:

Integral triple La integral triple se usa en funciones de la forma w = f ( x, y, z). Puede utilizarse para encontrar volúmenes de superficies o entre superficies e hipervolúmenes, que si bien poseen una magnitud, no tienen una representación física. Encontrar los límites de integración es nuevamente la tarea más compleja. En general, debería ser de la forma siguiente:

Este es el orden convencional. Sin embargo si el orden de los diferenciales cambian, también lo hacen los límites de integración. Pero la función siempre se queda intacta. Cuando la integral no tiene una función en el argumento, el cálculo corresponde a un volumen. Por ejemplo, se pide encontrar el volumen del primer octante del sólido acotado por las siguientes superficies:

El volumen que se pide es solo en el primer octante. De acuerdo a esto, la variable z varía desde 0 hasta el valor correspondiente de la función z (x,y). El primer diferencial es z. Para la variable x y y, es conveniente hacer un despeje para que el diferencial de x vaya primero:

De esta forma, y queda como una función de x. Finalmente, la intersección del plano con el cilindro está en y = 1, y se parte desde el origen. Por fin, la integral queda de la siguiente forma:

La integral se resuelve de la misma forma que en integrales dobles, mediante la iteración hasta encontrar un valor constante que corresponde al volumen de la figura.