MATEMÁTICAS EN EL RENACIMIENTO

MATEMÁTICAS EN EL RENACIMIENTO

Renacimiento es el movimiento cultural que surge en Europa el siglo  XIV y XV pero su apogeo es en el siglo XVI, caracterizado por un renovado interés por el pasado grecorromano clásico y especialmente por su arte.

Entramos en el despertar del mundo  occidental. El renacimiento se caracterizó en matemáticas, principalmente por el surgimiento del álgebra y fue una continuación de la tradición medieval, ya que Regiomontano reconoció la importancia del álgebra arábiga y latina, puesto que conoció el trabajo de al-Khowarizmi y de Fibonacci.

En el desarrollo de las matemáticas destacamos:

• Estudios  sobre problemas del infinito.
• Fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado que fue publicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Seguramente basada en estudios de Fibonacci que ya observa que algunas ecuaciones de tercer grado  no tenían raíces racionales.
• Tartaglia, apodo de Niccolo Fontana, porque era tartamudo, demostró que algunas ecuaciones de tercer grado se podían  resolver con una fórmula.

Cardano quiso apropiarse de la fórmula pero otros discípulos de Trataglia dieron como válida su palabra.

• Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior.
• Fue esta búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios del XIX.

Fue el resurgir de los estudios matemáticos y esto es clave en los cambios tanto del arte como de las ciencias en general.

• A Tartaglia le debemos también el triángulo que lleva su nombre, de máxima importancia para el desarrollo del binomio de Newton  mucho tiempo después y de importantes aplicaciones a la economía del siglo XX.Fuente romana con el triángulo de Tartaglia.

También volveremos a él en el tema del siglo XXI, porque es de vital importancia en estudios probabilísticos y de topología.

• Durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

Si algo une  a las matemáticas de todo el mundo es su lenguaje universal. Simplifican los cálculos y tienen un lenguaje técnico común en todos los idiomas. Estamos  en situación de trabajar con las variables y que “x” represente a una incógnita.

• El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones.

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Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra. El triángulo de tartaglia da lugar al desarrollo del binomio de Newton, posteriormente.

• En 1489 en Alemania se inventaron los signos + y – para la suma y la resta.
• El descubrimiento de América en 1492 crea la necesidad de avances técnicos y aplicaciones trigonométricas a la navegación, formación de equipos que hagan mapas y surge la necesidad de los estudios matemáticos. Cuando esto se promociona, siempre se avanza.
• Quienes hicieron contribuciones a la geometría en el siglo XVI fueron, principalmente,  Johannes Werner (1468-1522) y Albrecht Dürer (1471-1528) en Alemania y en Italia, Leonardo da Vinci (1452-1519),  Francesco Maurolico (1494-1575) y Pacioli.
  

  Leonardo da Vinci en su Trattato della pittura inicia con la advertencia: “quien no sea un matemático no lea mi trabajo”.
• Así mismo  contribuyeron los geógrafos, ya que la navegación está estrechamente relacionada con la  representación geográfica y, con la empresa de Magallanes y Elcano, se dio una carta de autenticidad al concepto del Mapa Mundi representado como una esfera.

• Se publica un tratado sobre cónicas.
• Se calculan ecuaciones de parábolas e hipérbolas, pero aun no se consideran muy importantes.

• Las proyecciones y las simetrías.

“La simetría es una idea por medio de la cual, el hombre de todas las épocas ha tratado de comprender y crear la belleza, el orden y la perfección” (Weyl).

La proyección gráfica es una técnica de dibujo empleada para representar un objeto en una superficie. La figura se obtiene utilizando líneas auxiliares proyectantes y  partiendo de un punto denominado foco, reflejan dicho objeto en un plano, como una sombra.

 Los elementos principales de la proyección son:

• El punto de vista o foco de proyección.
• El punto que se desea proyectar.
• El punto proyectado.
• La línea proyectante.
• El plano sobre el que se proyecta, que recibe diferentes denominaciones como plano de proyección, plano de cuadro o plano imagen.
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Escuela de Atenas

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“DIVINA PROPORCIÓN”: nombre dado por Luca Pacciolia la relación proporcional establecida en la sección áurea y presente en algunas figuras geométricas como el pentágono y el decágono regulares”. NÚMERO AÚREO.

• Leonardo da vinci conectó también el arte con las matemáticas. En sus notas se encuentran cuadraturas, construcciones de polígonos regulares y razonamientos sobre centros de gravedad y sobre curvas de doble curvatura.
• Uso de la perspectiva en la representación plana de objetos tridimensionales.

La teoría de la perspectiva. Es representar los objetos en la forma y la disposición con la que aparecen a la vista,  como lo visualizaría el espectador.

TIPOS DE PERSPECTIVAS

• Perspectiva lineal. las líneas paralelas que van de más cerca a más lejos, se junten en un punto de fuga, lo que crea una ilusión de profundidad. Puede ser:

Frontal, un único punto de fuga, de tal manera que todas las líneas paralelas se junten en él.

Oblicua, con dos puntos de fuga y todas las líneas paralelas se junten en uno y las perpendiculares a estas en otro.

1. Se dibuja la arista más cercana al observador, y se sitúan los puntos de fuga sobre una misma línea horizontal.
2. Se trazan líneas desde los puntos de fuga hasta los extremos de la arista dibujada, y se traza el resto de líneas verticales en función de la profundidad del objeto.
3. Desde los puntos de corte de las líneas verticales con las líneas que llevan hasta los puntos de fuga, se trazan las líneas hasta los dos puntos de fuga y se completa el dibujo destacando las aristas visibles.
   

   Perspectiva aérea. Alonso cano

• Perspectiva aérea. Perfecciona la perspectiva lineal, representando la atmósfera que envuelve a los objetos, esfumando las líneas convergentes, eliminando los límites de forma y color, lo que da una impresión muy real de la distancia.

Como le ocurre al ojo humano, las cosas, cuanto más lejanas, más borrosa.se intenta representar la atmósfera, el aire que envuelve a los objetos, degradando su color a medida que se van alejando del espectador, aportando así no sólo una sensación de profundidad.

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  Perspectiva paralela
  Perspectiva paralela a la que consta de un solo punto de fuga que además deberá estar justo frente a nosotros o desviado solo ligeramente; lo más simple de representar en perspectiva paralela es, por ejemplo, un cubo.

• Perspectiva invertida.  El punto de fuga está situado delante del cuadro.

• Perspectiva de importancia. La perspectiva de importancia es un método de representación que permite resaltar a un personaje con relación a otros.

Dürer tuvo más interés en la geometría; generó  epicicloides

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  Perspectiva de importancia,
  Epicicloides: es la trayectoria descrita por un punto situado sobre una circunferencia generatriz, que rueda sin deslizar por el interior de otra circunferencia directriz, sin deslizamiento.

Cuadro mágico.

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• En 1514, aparece un cuadrado mágico y se sabe que Paciolo dejó el manuscrito De viribus quantitatis en el que se aprecia el interés en tales cuadrados, ya que la suma de los elementos de sus filas, de los de sus columnas y de los de sus diagonales es siempre la misma, 34, que es por tanto la “constante mágica” del cuadrado. Los cuatro numeros centrales tambien suman 34. Si dividimos el cuadrado por la mitad tanto horizontal como verticalmente, nos quedan cuatro cuadrados más pequeños con cuatro números cada uno que suman 34.

Las transformaciones geométricas y las proyecciones resultaron esenciales para los cartógrafos, debido a las exploraciones geográficas.

Claudio Ptolomeo de Alejandría en el año 85, ya  crea una Geografía en ocho libros, que llegó a ser una Biblia para los geógrafos. En ella introdujo  el sistema de latitudes y longitudes como se utiliza actualmente y describió  métodos de  proyección cartográfica.

Ptolomeo describió dos tipos de proyección de mapas:

• Proyección ortográfica
• Proyección estereográfica,  en la cual los puntos en la esfera se proyectan por líneas desde un polo sobre un plano (en  el caso de Ptolomeo desde el polo sur al plano del ecuador).

En el mapa realizado por Ptolomeo se sintetizaron los conocimientos de su tiempo y sentó  las bases de la concepción del mundo hasta finales de la Edad Media.

Copérnico (1473-1543), buscó y propuso una solución nueva para el viejo problema del aparente movimiento errático de los planetas, que era explicado de acuerdo con la concepción aristotélico ptolemaica de una manera extraordinariamente complicada.

La concepción antigua estaba basada en distintos supuestos:

• La tierra está inmóvil y ocupa el centro del universo.
• El movimiento de los astros es uniforme y su trayectoria circular.
• La materia de los astros es perfecta e incorruptible: el éter.
• Los astros están incrustados en esferas cristalinas que también son de éter.
• El límite último del universo está constituido por la esfera de las estrellas fijas.

 Kepler (1571-1630) fue discípulo de Brahe, y heredó  datos y observaciones astronómicas. Con estos datos,  se dedicó a descubrir las leyes matemáticas simples que resolvieran el complejo problema de los planetas.

1. Los planetas describen alrededor del sol órbitas elípticas, con el sol en uno de focos de la elipse.
2. El movimiento de los planetas tiene una velocidad variable en forma proporcional a su distancia al sol, más rápido cuanto más cerca está de éste, barriendo áreas iguales en tiempos iguales.
3. Los cuadrados de los periodos de los planetas son proporcionales a los cubos de sus respectivas distancias medias al sol.

Galileo (1564-1642) demostró el movimiento uniforme, el uniformemente acelerado y la trayectoria de los proyectiles. Para ello desarrolló un nuevo método científico.

• Rechazo de la autoridad de los antiguos, especialmente de Aristóteles.
• Simplicidad de la naturaleza.
• La existencia de un orden racional y necesario que podía ser formulado en términos matemáticos.
• A partir de ahora la Física sólo estudiará aquello que puede ser cuantificado, es decir, aquello que se puede expresar mediante fórmulas matemáticas.
• Fenomenismo. Con Galileo se acaba definitivamente con el estudio de las esencias (aristotelismo) y se considera que la ciencia debe ocuparse sólo de la descripción y comprensión matemática de los fenómenos