MATEMÁTICA DE LOS EGIPCIOS
A lo largo de la historia de la arqueología egipcia se han ido encontrando distintos restos en los que aparecen las matemáticas. Entre ellos destaca la maza del rey Narmer (considerado el unificador del Alto y del Bajo Egipto), la cual data del 3000 a.C. y hasta la fecha es el resto arqueológico más antiguo con relevancia en el campo matemático.
Tipos de escritura y papiros
Escritura jeroglífica: usada desde el 3200 a.C. hasta aproximadamente el 2500 a.C. En este período la numeración usada era similar a la mostrada en la siguiente tabla.
Escritura hierática: usada predominante desde el 2500 a.C. hasta aproximadamenteel600a.C.Aligualqueantes, la numeración usada varió con el tipo de escritura, dando lugar a una mayor riqueza en el número de símbolos usado para escribir distintas cifras.
Escritura demótica: usada en el período tardío de la cultura egipcia, desde el 600 a.C. en adelante. Esta última variación en la escritura también produjo una leve variación en los símbolos usados para los números con respecto a la escritura hierática.
Dominaron los números y sus operaciones Conocieron los números naturales y los racionales positivos de numerador 1, su aproximación al valor de p=3'16 fue la más acertada en la antigüedad. Resolvían ecuaciones de segundo grado y raíces cuadradas para aplicarlas a los problemas de áreas. Aunque la suma funcionaba bien, el sistema de numeración egipcio presentaba algunas dificultades aritméticas entre las que destaca la práctica imposibilidad de organizarlos para multiplicar. Sin embargo consiguieron que la aritmética fuera su fuerte; la multiplicación y las fracciones no tenían secretos para ellos. La multiplicación se realizaba a partir de duplicaciones y sumas, y en la división utilizaban la multiplicación a la inversa. El sistema de numeración egipcio, era un sistema decimal (de base 10) por yuxtaposición, así sus números se escribían de la siguiente manera: Los egipcios utilizaron las fracciones cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es 2, 3, 4,..., y las fracciones 2/3 y 3/4 y con ellas conseguían hacer cálculos fraccionarios de todo tipo. Su notación era la siguiente: La geometría de los egipcios Como ya hemos dicho antes, los conocimientos geométricos de los egipcios también eran considerables. Sin dichos conocimientos no habrían podido construir las pirámides o medir tierras, etc... La geometría egipcia junto a la babilónica, fue la precursora de la potente geometría griega. Los primeros matemáticos griegos (Tales de Mileto, Pitágoras,...) viajaron por Babilonia y Egipto antes de realizar sus tratados. Dominaban perfectamente los triángulos gracias a los anudadores. Los anudadores egipcios hacían nudos igualmente espaciados que servían para medir; fueron los primeros en observar que uniendo con forma de triángulo, cuerdas de ciertas longitudes se obtiene un ángulo recto, también conseguían mediante estos nudos triángulos rectángulos. Pitágoras recogió toda esta experiencia geométrica para su teorema. Es decir, los egipcios ya conocían la relación entre la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo. Utilizaban el más tarde se conoció como Teorema de Pitágoras, pero de forma práctica, no sabían demostrarlo. Entre las fórmulas que tenían para medir áreas, se pueden citar las de superficie del cuadrado (a partir del triángulo), del rectángulo, del rombo y del trapecio. En cuanto al área del círculo utilizaron una fórmula que daba a p un valor bastante aproximado. En el Papiro de Rhind encontramos: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Por necesidades de reparto de víveres, salarial o de tierras, los escribas tuvieron que ser capaces de solventar distintos problemas, los cuales podrían ser reescritos en nuestros días como ecuaciones de primer grado o incluso como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. En particular, en los siguientes ejemplos, veremos algunas de las resoluciones originales mostradas en los papiros: Problema 63 del papiro de Rhind: se quieren repartir 700 panes entre 4 hombres, con 2/3 para el primero, 1/2 para el segundo, 1/3 para el tercero y 1/4 para el cuarto. Calcular la parte de cada uno. Solución: es claro que 2/3 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 1 + 1/2 + 1/4, por lo que 1 + 1/2 + 1/4 es a 700 como 1 es a x. De aquí se obtiene que x = 400, por lo que cada hombre recibirá 2/3•400 = 266 + 2/3 panes; 1/2•400 = 200 panes; 1/3•400 = 133 + 1/3 panes; 1/4•400 = 100 panes. El papiro de Moscú La mayor parte de la información acerca de la matemática egipcia proviene del papiro de ahmes o de Rhind, el documento más extenso. EL PAPIRO RHIND. En 1858 el egiptólogo escocés A. Henry Rhind visitó Egipto por motivos de salud (padecía tuberculosis) y compró en Luxor el papiro que actualmente se conoce como papiro Rhind o de Ahmes, y que se encontró en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. Rhind murió 5 años después de la compra y el papiro fue a parar al Museo Británico. Desgraciadamente en esa época gran parte del papiro se había perdido, aunque 50 años después se encontraron muchos fragmentos en los almacenes de la Sociedad histórica de Nueva York. Actualmente se encuentra en el Museo Británico de Londres. Comienza con la frase "Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios". El papiro mide unos 6 metros de largo y 33 cm de ancho. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia que se conoce. Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución. Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el 1650 a.C. a partir de escritos de 200 años de antigüedad, según reivindica Ahmes al principio del texto, aunque nos resulta imposible saber qué partes corresponden a estos textos anteriores y cuáles no.
EL PAPIRO DE MOSCÚ.
El papiro de Moscú, es junto con el de Rhind el más importante documento matemático del Antiguo Egipto. Fue comprado por Golenishchev en el año 1883, a través de Abd-el-Radard, una de las personas que descubrió el escondite de momias reales de Deir el-Bahari. Originalmente se le conocía como Papiro Golenishchev pero posteriormente, cuando fue a parar al Museo de Bellas Artes de Moscú, en 1917, con el número 4576, se conoce como Papiro de Moscú. Con 5 metros de longitud, y tan sólo 8 cm de anchura consta de 25 problemas, aunque algunos se encuentran demasiado dañados para poder ser interpretados. El papiro fue escrito en hierática en torno al 1890 a.C. (XII dinastía) por un escriba desconocido, que no era tan meticuloso como Ahmes, el escriba del papiro Rhind. Se desconoce el objetivo con el que fue escrito. En la imagen que mostramos se puede ver el original en hierática y la traducción en jeroglífico. PROBLEMAS MÁS INTERESANTES.
Problema 10: Área de una superficie curva. En este problema se pide calcular el área de una superficie que en principio parece un cesto de diámetro 4.5. La resolución parece emplear la fórmula S = (1 - 1/9)2 (2x)*x, siendo x = 4.5. El resultado final que aparece es de 32 unidades. Si tenemos en cuenta que (1 - 1/9)2 es el valor correspondiente a /4 para =3 1/6 que como hemos visto, en el capítulo referente a geometría, era el valor empleado, entonces la superficie a analizar podría corresponderse perfectamente con una semiesfera de diámetro 4.5. Si esto fuese asi, tal y como se pensó originalmente en 1930, sería el primer resultado de cálculo del área de un hemisferio, anterior en 1500 años a los primeros cálculos conocidos sobre el área de una esfera. Posteriormente se sugirió que la figura que aparece representada podría ser un tejado semicilíndrico de diámetro 4.5 y longitud 4.5, cuya resolución es más lógica y sencilla que la de la esfera. En cualquier caso, tanto si se trata de un hemisferio como de un tejado semicilíndrico lo que si es cierto es que es uno de los primeros intentos de cálculo del área de una superficie curvilínea.
EL NUMERO PI
El llamado número 'Pi' (π) es la relación matemática existente en geometría euclidiana resultado de dividir la circunferencia de un círculo entre su diámetro. Su valor en sus primeras cifras es 3,1415926535...; aunque al tratarse de un número irracional tiene infinitos decimales. Su uso es de vital importancia en campos como las matemáticas, la ciencia o la ingeniería. De hecho, su presencia en la naturaleza se hace patente en muy variados casos. Se estima que ya en el año 2.000 a.C. los babilonios tuvieron un acercamiento al averiguar que la circunferencia de un círculo suele ser poco más de tres veces el equivalente a su diámetro. Sin embargo, no fue hasta el año 225 a.C. cuando Arquímedes de Siracusa inició su teoría matemática. La misma se fue perfeccionando a lo largo de los siglos y en 1706 el matemático William Jones usó por primera vez su símbolo (π), aunque fue Leonhard Euler el que lo popularizó a partir de 1737.
Bibliografías
https://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/egipto/egipt.htm http://egiptologia.org/?page_id=139 https://www.viajejet.com/la-escritura-de-egipto/#jeroglifica http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_moscu.htm http://matematicas.uclm.es/ita-cr/web_matematicas/trabajos/165/el_papiro_de_Rhind.pdf http://www.ehu.eus/aba/div/paseo-06-07.pdf https://www.youtube.com/watch?v=CXK-KtfGsbM
Escritura hierática: usada predominante desde el 2500 a.C. hasta aproximadamenteel600a.C.Aligualqueantes, la numeración usada varió con el tipo de escritura, dando lugar a una mayor riqueza en el número de símbolos usado para escribir distintas cifras.
Escritura demótica: usada en el período tardío de la cultura egipcia, desde el 600 a.C. en adelante. Esta última variación en la escritura también produjo una leve variación en los símbolos usados para los números con respecto a la escritura hierática.
Dominaron los números y sus operaciones Conocieron los números naturales y los racionales positivos de numerador 1, su aproximación al valor de p=3'16 fue la más acertada en la antigüedad. Resolvían ecuaciones de segundo grado y raíces cuadradas para aplicarlas a los problemas de áreas. Aunque la suma funcionaba bien, el sistema de numeración egipcio presentaba algunas dificultades aritméticas entre las que destaca la práctica imposibilidad de organizarlos para multiplicar. Sin embargo consiguieron que la aritmética fuera su fuerte; la multiplicación y las fracciones no tenían secretos para ellos. La multiplicación se realizaba a partir de duplicaciones y sumas, y en la división utilizaban la multiplicación a la inversa. El sistema de numeración egipcio, era un sistema decimal (de base 10) por yuxtaposición, así sus números se escribían de la siguiente manera: Los egipcios utilizaron las fracciones cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es 2, 3, 4,..., y las fracciones 2/3 y 3/4 y con ellas conseguían hacer cálculos fraccionarios de todo tipo. Su notación era la siguiente: La geometría de los egipcios Como ya hemos dicho antes, los conocimientos geométricos de los egipcios también eran considerables. Sin dichos conocimientos no habrían podido construir las pirámides o medir tierras, etc... La geometría egipcia junto a la babilónica, fue la precursora de la potente geometría griega. Los primeros matemáticos griegos (Tales de Mileto, Pitágoras,...) viajaron por Babilonia y Egipto antes de realizar sus tratados. Dominaban perfectamente los triángulos gracias a los anudadores. Los anudadores egipcios hacían nudos igualmente espaciados que servían para medir; fueron los primeros en observar que uniendo con forma de triángulo, cuerdas de ciertas longitudes se obtiene un ángulo recto, también conseguían mediante estos nudos triángulos rectángulos. Pitágoras recogió toda esta experiencia geométrica para su teorema. Es decir, los egipcios ya conocían la relación entre la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo. Utilizaban el más tarde se conoció como Teorema de Pitágoras, pero de forma práctica, no sabían demostrarlo. Entre las fórmulas que tenían para medir áreas, se pueden citar las de superficie del cuadrado (a partir del triángulo), del rectángulo, del rombo y del trapecio. En cuanto al área del círculo utilizaron una fórmula que daba a p un valor bastante aproximado. En el Papiro de Rhind encontramos: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Por necesidades de reparto de víveres, salarial o de tierras, los escribas tuvieron que ser capaces de solventar distintos problemas, los cuales podrían ser reescritos en nuestros días como ecuaciones de primer grado o incluso como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. En particular, en los siguientes ejemplos, veremos algunas de las resoluciones originales mostradas en los papiros: Problema 63 del papiro de Rhind: se quieren repartir 700 panes entre 4 hombres, con 2/3 para el primero, 1/2 para el segundo, 1/3 para el tercero y 1/4 para el cuarto. Calcular la parte de cada uno. Solución: es claro que 2/3 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 1 + 1/2 + 1/4, por lo que 1 + 1/2 + 1/4 es a 700 como 1 es a x. De aquí se obtiene que x = 400, por lo que cada hombre recibirá 2/3•400 = 266 + 2/3 panes; 1/2•400 = 200 panes; 1/3•400 = 133 + 1/3 panes; 1/4•400 = 100 panes. El papiro de Moscú La mayor parte de la información acerca de la matemática egipcia proviene del papiro de ahmes o de Rhind, el documento más extenso. EL PAPIRO RHIND. En 1858 el egiptólogo escocés A. Henry Rhind visitó Egipto por motivos de salud (padecía tuberculosis) y compró en Luxor el papiro que actualmente se conoce como papiro Rhind o de Ahmes, y que se encontró en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. Rhind murió 5 años después de la compra y el papiro fue a parar al Museo Británico. Desgraciadamente en esa época gran parte del papiro se había perdido, aunque 50 años después se encontraron muchos fragmentos en los almacenes de la Sociedad histórica de Nueva York. Actualmente se encuentra en el Museo Británico de Londres. Comienza con la frase "Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios". El papiro mide unos 6 metros de largo y 33 cm de ancho. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia que se conoce. Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución. Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el 1650 a.C. a partir de escritos de 200 años de antigüedad, según reivindica Ahmes al principio del texto, aunque nos resulta imposible saber qué partes corresponden a estos textos anteriores y cuáles no.
EL PAPIRO DE MOSCÚ.
El papiro de Moscú, es junto con el de Rhind el más importante documento matemático del Antiguo Egipto. Fue comprado por Golenishchev en el año 1883, a través de Abd-el-Radard, una de las personas que descubrió el escondite de momias reales de Deir el-Bahari. Originalmente se le conocía como Papiro Golenishchev pero posteriormente, cuando fue a parar al Museo de Bellas Artes de Moscú, en 1917, con el número 4576, se conoce como Papiro de Moscú. Con 5 metros de longitud, y tan sólo 8 cm de anchura consta de 25 problemas, aunque algunos se encuentran demasiado dañados para poder ser interpretados. El papiro fue escrito en hierática en torno al 1890 a.C. (XII dinastía) por un escriba desconocido, que no era tan meticuloso como Ahmes, el escriba del papiro Rhind. Se desconoce el objetivo con el que fue escrito. En la imagen que mostramos se puede ver el original en hierática y la traducción en jeroglífico. PROBLEMAS MÁS INTERESANTES.
Problema 10: Área de una superficie curva. En este problema se pide calcular el área de una superficie que en principio parece un cesto de diámetro 4.5. La resolución parece emplear la fórmula S = (1 - 1/9)2 (2x)*x, siendo x = 4.5. El resultado final que aparece es de 32 unidades. Si tenemos en cuenta que (1 - 1/9)2 es el valor correspondiente a /4 para =3 1/6 que como hemos visto, en el capítulo referente a geometría, era el valor empleado, entonces la superficie a analizar podría corresponderse perfectamente con una semiesfera de diámetro 4.5. Si esto fuese asi, tal y como se pensó originalmente en 1930, sería el primer resultado de cálculo del área de un hemisferio, anterior en 1500 años a los primeros cálculos conocidos sobre el área de una esfera. Posteriormente se sugirió que la figura que aparece representada podría ser un tejado semicilíndrico de diámetro 4.5 y longitud 4.5, cuya resolución es más lógica y sencilla que la de la esfera. En cualquier caso, tanto si se trata de un hemisferio como de un tejado semicilíndrico lo que si es cierto es que es uno de los primeros intentos de cálculo del área de una superficie curvilínea.
EL NUMERO PI
El llamado número 'Pi' (π) es la relación matemática existente en geometría euclidiana resultado de dividir la circunferencia de un círculo entre su diámetro. Su valor en sus primeras cifras es 3,1415926535...; aunque al tratarse de un número irracional tiene infinitos decimales. Su uso es de vital importancia en campos como las matemáticas, la ciencia o la ingeniería. De hecho, su presencia en la naturaleza se hace patente en muy variados casos. Se estima que ya en el año 2.000 a.C. los babilonios tuvieron un acercamiento al averiguar que la circunferencia de un círculo suele ser poco más de tres veces el equivalente a su diámetro. Sin embargo, no fue hasta el año 225 a.C. cuando Arquímedes de Siracusa inició su teoría matemática. La misma se fue perfeccionando a lo largo de los siglos y en 1706 el matemático William Jones usó por primera vez su símbolo (π), aunque fue Leonhard Euler el que lo popularizó a partir de 1737.
Bibliografías
https://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/egipto/egipt.htm http://egiptologia.org/?page_id=139 https://www.viajejet.com/la-escritura-de-egipto/#jeroglifica http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_moscu.htm http://matematicas.uclm.es/ita-cr/web_matematicas/trabajos/165/el_papiro_de_Rhind.pdf http://www.ehu.eus/aba/div/paseo-06-07.pdf https://www.youtube.com/watch?v=CXK-KtfGsbM
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