MATRICES

MATRICES

En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m ∈ N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas con coeficientes en un cuerpo K es un K-espacio vectorial. A continuaci´on estudiaremos más en detalle estos conjuntos de matrices, as´ı como tambi´en ciertas matrices particulares que nos ser´an de utilidad. 2.1 Definiciones y propiedades Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el cap´ıtulo anterior. Sean n, m ∈ N. El conjunto de las matrices de n filas y m columnas con coeficientes en un cuerpo K es Kn×m =      a11 . . . a1m . . . . . . an1 . . . anm   / aij ∈ K ∀ 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m    . Para definir una matriz en Kn×m basta especificar, para cada 1 ≤ i ≤ n y cada 1 ≤ j ≤ m, qu´e elemento de K se halla en el lugar ij (correspondiente a la interjección de la fila i y la columna j) de la matriz. Ejemplo. Sean n, m ∈ N, y sean 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ m. Se define la matriz Ekl ∈ Kn×m como (E kl)ij = n 1 si i = k, j = l 0 si no Estas matrices se llaman las matrices can´onicas de Kn×m. Una primera observaci´on que debemos hacer se refiere a c´omo determinar si dos matrices (de las mismas dimensiones) son iguales: 48 Matrices Observaci´on 2.1 Sean A, B ∈ Kn×m. Entonces A = B si y s´olo si Aij = Bij para cada 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Podemos definir una operaci´on (suma) en Kn×m y una acci´on de K en Kn×m que transforman a este conjunto en un K-espacio vectorial: Definici´on 2.2 Se definen la suma de matrices y el producto por escalares como + : Kn×m × Kn×m → Kn×m, (A + B)ij = Aij + Bij (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m) · : K × Kn×m → Kn×m, (λ · A)ij = λ · Aij (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m). Es f´acil verificar que (Kn×m, +, ·) es un K-espacio vectorial. Definiremos ahora un producto que, dadas dos matrices A y B con coeficientes en K tales que la cantidad de columnas de A es igual a la cantidad de filas de B, calcula una nueva matriz C. Definici´on 2.3 Sean A ∈ Kn×m y B ∈ Km×r . Se define el producto de A por B como la matriz C ∈ Kn×r tal que Cij = Xm k=1 AikBkj 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ r. Analizaremos ahora algunas propiedades del producto de matrices y su relaci´on con la suma de matrices. Proposici´on 2.4 Propiedades del producto de matrices: 1. Propiedad asociativa: dadas A ∈ Kn×m, B ∈ Km×r y C ∈ Kr×s , se tiene que (A.B).C = A.(B.C). 2. Para cada n ∈ N, sea In ∈ Kn×n definida por (In)ij = ½ 1 si i = j 0 si i 6= j . Entonces, si A ∈ Kn×m, se verifica: In.A = A.Im = A. La matriz In se denomina matriz identidad de Kn×n. 3. Propiedades distributivas: (a) Si A ∈ Kn×m y B, C ∈ Km×r , entonces A.(B + C) = A.B + A.C. (b) Si A, B ∈ Kn×m y C ∈ Km×r , entonces (A + B).C = A.C + B.C. Demostraci´on. 1. Observemos en primer lugar que si A ∈ Kn×m, B ∈ Km×r y C ∈ Kr×s , entonces (A.B).C ∈ Kn×s y A.(B.C) ∈ Kn×s . 2.1 Definiciones y propiedades 49 Para cada 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ s, se tiene: ¡ (A.B).C¢ ij = Xr α=1 (A.B)iαCαj = Xr α=1 ³Xm β=1 AiβBβα´ Cαj = Xr α=1 ³Xm β=1 AiβBβαCαj´ = Xm β=1 ³Xr α=1 AiβBβαCαj´ = Xm β=1 Aiβ³Xr α=1 BβαCαj´ = Xm β=1 Aiβ(B.C)βj = ¡ A.(B.C) ¢ ij . 2. Sean 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Se tiene que (In.A)ij = Xn k=1 (In)ikAkj = 1.Aij = Aij . De la misma manera, (A.Im)ij = Aij para cada 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. 3. Queda como ejercicio. ¤ Observemos que, en particular, el producto de matrices est´a definido para cualquier par de matrices en Kn×n y, por lo tanto, se tiene una operaci´on “producto” en Kn×n para cada n ∈ N. De la proposici´on anterior se deduce: Proposici´on 2.5 (Kn×n, +, ·) es un anillo. Si bien el producto de matrices comparte muchas de sus propiedades con el producto usual de n´umeros reales, hay propiedades que verifica ´este que no son v´alidas para el producto de matrices: Observaci´on 2.6 Dos de las propiedades que no se cumplen para el producto de matrices son las siguientes: • El producto de matrices no es conmutativo. A´un en el caso de matrices cuadradas, en el que siempre se pueden calcular A.B y B.A, en general se tiene que A.B 6= B.A. Por ejemplo, para A = µ 0 1 0 0 ¶ y B = µ 1 0 0 0 ¶ se tiene que A.B = µ 0 0 0 0 ¶ y B.A = µ 0 1 0 0 ¶ . • El hecho que A.B = 0 no implica que A = 0 o B = 0. En el ejemplo anterior, A 6= 0, B 6= 0, pero A.B = 0. El conjunto Kn×n resulta ser a la vez un anillo y un K-espacio vectorial. La noci´on que engloba a los conjuntos con estas caracter´ısticas es la siguiente: 50 Matrices Definici´on 2.7 Sea K un cuerpo y sea A un conjunto con dos operaciones, + y · , y una acci´on ·K de K en A tales que 1. (A, +, ·) es un anillo 2. (A, +, ·K) es un K-espacio vectorial 3. (λ ·K X) · Y = λ ·K (X · Y ) = X · (λ ·K Y ) ∀ λ ∈ K ∀ X, Y ∈ A Se dice entonces que A es una K-´algebra. Observaci´on 2.8 (Kn×n, +, ·K, ·) es una K-´algebra. Observamos que el producto de matrices nos permite escribir un sistema lineal de n ecuaciones con m inc´ognitas    a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm = b1 . . . an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = bn en la forma A.x = b, donde A ∈ Kn×m es la matriz asociada al sistema, x ∈ Km×1 se define como xi1 = xi (matriz de una columna cuyos elementos son las inc´ognitas del sistema), y b ∈ Kn×1 se define como bj1 = bj (matriz de una columna cuyos elementos son los resultados a los que est´an igualadas las ecuaciones). De esta manera, un sistema lineal puede verse como una ´unica ecuaci´on con una ´unica inc´ognita x, pero que involucra matrices en lugar de escalares. El hecho que la soluci´on en K de la ecuaci´on a.x = b con a, b ∈ K, a 6= 0, se obtiene haciendo simplemente x = a −1 b, nos lleva a pensar que el sistema lineal Ax = b podr´ıa resolverse an´alogamente como x = A−1 b en caso de disponer de una matriz A−1 que sea una inversa de A para el producto de matrices. Este ser´a el tema a estudiar en la pr´oxima secci´on. ´ Concluimos esta secci´on introduciendo dos nociones que nos ser´an de utilidad en lo sucesivo: Definici´on 2.9 Sea A ∈ Kn×m. Se llama matriz transpuesta de A, y se nota At , a la matriz At ∈ Km×n definida por (At )ij = Aji para cada 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Definici´on 2.10 Sea A ∈ Kn×n. Se llama traza de la matriz A, y se nota tr(A), al escalar tr(A) = Pn i=1 Aii. 2.2 Matrices inversibles No es cierto que todo elemento no nulo de Kn×n tenga inverso con respecto al producto. Por ejemplo: A = µ 1 0 0 0 ¶ ∈ K2×2 no tiene inversa. En efecto, A.B 6= I2 para toda matriz B ∈ K2×2 , puesto que (A.B)22 = 0 6= (I2)22 para toda matriz B ∈ K2×2 . 2.2 Matrices inversibles 51 En esta secci´on nos ocuparemos de las matrices que s´ı tienen inversa y veremos tambi´en c´omo hallar la inversa de una matriz en el caso en que ´esta exista. Definici´on 2.11 Una matriz A ∈ Kn×n se dice inversible si existe una matriz B ∈ Kn×n tal que A.B = B.A = In. Observemos que la matriz B de la definici´on es ´unica. En efecto, si A.B = B.A = In y A.C = C.A = In, entonces B = In.B = (C.A).B = C.(A.B) = C.In = C. Notaci´on. B = A−1 . Para cada n ∈ N consideraremos el conjunto de todas las matrices inversibles en Kn×n: GL(n, K) = {A ∈ Kn×n / A es inversible}. Nos interesa estudiar la estructura de este conjunto. Proposici´on 2.12 Para cada n ∈ N, se verifican las siguientes propiedades: 1. Si A, B ∈ GL(n, K), entonces A.B ∈ GL(n, K). M´as a´un, (A.B) −1 = B−1A−1 . En particular, el producto de matrices · es una operaci´on en GL(n, K). 2. In ∈ GL(n, K). 3. Si A ∈ GL(n, K), entonces A−1 ∈ GL(n, K). Demostraci´on. 1. Sean A, B ∈ GL(n, K). Entonces existen A−1 y B−1 . Se tiene que (A.B).(B −1 . A−1 ) = In y (B −1 . A−1 ).(A.B) = In. Entonces A.B es inversible y (A.B) −1 = B−1 . A−1 . 2. Es consecuencia de que In.In = In. 3. De la definici´on de inversa se deduce inmediatamente que si A ∈ GL(n, K), entonces (A−1 ) −1 = A y por lo tanto A−1 ∈ GL(n, K). ¤ De la proposici´on anterior y la asociatividad del producto de matrices se deduce que: Proposici´on 2.13 (GL(n, K), ·) es un grupo, que se denomina el grupo lineal general (n, K). 52 Matrices Para concluir esta secci´on, veremos un m´etodo para determinar si una matriz en Kn×n es inversible y, en caso de serlo, encontrar su inversa. Lo describimos en el siguiente ejemplo: Ejemplo. Hallar, si es posible, A−1 siendo A ∈ R 3×3 la matriz A =   1 1 0 0 2 −1 2 1 1   . Buscamos B ∈ R 3×3 tal que A.B = B.A = I3. Si B =   a b c d e f g h i  , debe ser A.   a b c d e f g h i   =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   . Esta igualdad se traduce en los tres sistemas de ecuaciones siguientes: A.   a d g   =   1 0 0   , A.   b e h   =   0 1 0   , y A.   c f i   =   0 0 1   , que podemos resolver simult´aneamente:   1 1 0 1 0 0 0 2 −1 0 1 0 2 1 1 0 0 1   −→   1 1 0 1 0 0 0 2 −1 0 1 0 0 −1 1 −2 0 1   −→   1 1 0 1 0 0 0 1 −1 2 0 −1 0 0 1 −4 1 2   −→   1 0 0 3 −1 −1 0 1 0 −2 1 1 0 0 1 −4 1 2   Entonces B =   3 −1 −1 −2 1 1 −4 1 2   verifica la igualdad A.B = I3. Observemos que, si buscamos una matriz C tal que B.C = I3, bastar´ıa con hacer los pasos anteriores, pero a la inversa, con lo que obtendr´ıamos la matriz A. Luego, A.B = B.A = I3, es decir A−1 =   3 −1 −1 −2 1 1 −4 1 2  . C´omo decidir si una matriz es inversible y hallar su inversa: • Dada A ∈ Kn×n, se arma una matriz en Kn×2n cuyas primeras n columnas corresponden a la matriz A y cuyas ´ultimas n columnas est´an formadas por los n vectores de la base can´onica de Kn. 2.3 Matrices elementales 53 Esto corresponde a plantear la ecuaci´on A.B = In con B ∈ Kn×n, subdividirla en n sistemas lineales A.Bi = ei , 1 ≤ i ≤ n, igualando columna a columna, y escribir la matriz ampliada de los n sistemas. • Si al triangular la matriz no aparece ning´un cero en la diagonal, se pueden resolver los sistemas que resultan (que tienen soluci´on ´unica) y hallar entonces la inversa de A. Para esto se puede proceder como en el ejemplo anterior: al no aparecer ceros en la diagonal, se contin´ua aplicando operaciones elementales sobre las filas de la matriz de manera que en las primeras n columnas quede formada la matriz In. Entonces A−1 es la matriz que aparece en las ´ultimas n columnas (esto puede probarse de la misma manera que se hizo en el ejemplo). • Si al triangular la matriz aparece un cero en la diagonal, la matriz A no es inversible. En efecto, la presencia de un cero en la diagonal al triangular implica que el sistema homog´eneo cuya matriz es A tiene soluci´on no trivial, es decir, existe x0 ∈ Kn no nulo tal que A.x0 = 0. Si A fuese inversible, multiplicando por A−1 resultar´ıa x0 = A−1 .A.x0 = 0, contradiciendo que x0 6= 0. 2.3 Matrices elementales El m´etodo de triangulaci´on que hemos visto para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales se basa en la aplicaci´on de ciertas operaciones elementales (ver Proposici´on 1.19) a las ecuaciones o, equivalentemente, a las filas de la matriz del sistema. Como veremos a continuaci´on, cada una de estas operaciones puede verse como la multiplicaci´on a izquierda de la matriz del sistema por una matriz conveniente. A cada operaci´on de filas en una matriz de n × n, le asociaremos la matriz que se obtiene al aplicarle dicha operaci´on a la matriz identidad In. Las matrices obtenidas de esta forma se denominan matrices elementales. Tendremos entonces tres familias de matrices elementales, correspondientes a los tres tipos de operaciones de filas permitidas. A continuaci´on damos las definiciones precisas y estudiamos el comportamiento de las matrices elementales con respecto al producto. Comenzamos definiendo las matrices que corresponden a la operacion “Intercambiar dos ecuaciones”. 1. Sean 1 ≤ i, j ≤ n. Se define P ij ∈ Kn×n como P ij = In − E ii − E jj + E ij + E ji . Observamos que P ij es la matriz que resulta al intercambiar las filas i y j en la matriz In. Es f´acil verificar que, dada B ∈ Kn×n el producto P ijB es la matriz que resulta al intercambiar en la matriz B las filas i y j. En particular, P ij .Pij = In, es decir que P ij es inversible y P ij−1 = P ij . 54 Matrices Ahora introducimos las matrices elementales asociadas a la operaci´on “Multiplicar una ecuaci´on por una constante no nula.” 2. Sea a ∈ K, a 6= 0, y sea 1 ≤ i ≤ n. Se define Mi(a) ∈ Kn×n como Mi(a) = In + (a − 1).Eii . Observamos que Mi(a) es la matriz que se obtiene al mutiplicar por a la i-´esima fila de la matriz In. Dada B ∈ Kn×n se tiene que ¡ Mi(a).B¢ kj = ½ Bkj si k 6= i a.Bkj si k = i, es decir, Mi(a).B es la matriz que resulta al multiplicar por a la i-´esima fila de B. En particular, Mi(a).Mi(a −1 ) = Mi(a −1 ).Mi(a) = In, de donde Mi(a) ∈ GL(n, K) y (Mi(a))−1 = Mi(a −1 ). Finalmente, la tercera de las familias de matrices elementales es la que representa la operaci´on “Reemplazar una ecuaci´on por ella misma m´as un m´ultiplo de otra.” 3. Sea a ∈ K y sean i 6= j con 1 ≤ i, j ≤ n. Se define T ij (a) ∈ Kn×n como T ij (a) = In + a.Eij , la matriz que se obtiene de la matriz In al sumarle a la i-´esima fila, a por la fila j. Si B ∈ Kn×n, entonces ¡ T ij (a).B¢ kl = ½ Bkl si k 6= i Bil + a.Bjl si k = i, o sea que T ij (a).B es la matriz que se obtiene de B al sumarle a la i-´esima fila, a por la fila j. En particular, se tiene que T ij (a).Tij (−a) = T ij (−a).Tij (a) = In, con lo que T ij (a) ∈ GL(n, K) y (T ij (a))−1 = T ij (−a). De las propiedades de las matrices elementales que hemos visto, se deduce que triangular una matriz mediante operaciones sobre sus filas es multiplicarla a izquierda por matrices elementales. En forma totalmente an´aloga, puede verse que multiplicar una matriz a derecha por matrices elementales corresponde a efectuar operaciones sobre las columnas de la matriz. Observaci´on 2.14 Sea A ∈ Kn×n. Entonces existen matrices elementales E1, . . . , Er ∈ Kn×n tales que Er . . . E1.A es triangular superior. Si adem´as, Er . . . E1.A no tiene ceros en la diagonal, existen matrices elementales Er+1, . . . , Es tales que Es . . . Er+1.Er . . . E1.A = In. En consecuencia, A es producto de matrices elementales: A = E −1 1 . . . E−1 s , y A−1 = Es . . . E1. 2.4 Coordenadas 55 En particular, esta observaci´on nos dice que si por medio de la aplicaci´on de operaciones elementales a las filas de la matriz A obtenemos la matriz identidad I, entonces aplicando las mismas operaciones en las filas de I obtendremos A−1 . Por otro lado, nos da un teorema de estructura para GL(n, K): as´ı como el Teorema Fundamental de la Aritm´etica en Z dice que todo n´umero entero no nulo es producto de enteros primos, la observaci´on anterior nos dice que toda matriz en GL(n, K) es producto de matrices elementales. 2.4 Coordenadas Dado un K-espacio vectorial V de dimensi´on n y fijada una base B de V , mediante el concepto de coordenadas de un vector en la base B podremos “identificar” cada elemento de V con un vector en Kn y trabajar entonces con elementos de Kn. 2.4.1 Coordenadas de un vector en una base Definici´on 2.15 Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´on finita y sea B = {v1, . . . , vn} una base de V . Dado x ∈ V , existen ´unicos α1, . . . , αn ∈ K tales que x = α1v1 + · · · + αnvn (ver Proposici´on 1.37). El vector (α1, . . . , αn) ∈ Kn se llama el vector de coordenadas de x en la base B y ser´a denotado por (x)B. Ejemplos. i) Sea V = R4[X] y sea B = {1, X, X2 , X3 , X4} base de V . Las coordenadas de X3 + 3X2 − 1 en la base B son (X3 + 3X2 − 1)B = (−1, 0, 3, 1, 0). Sea B0 = {X4 , X3 , X2 , X, 1}. Entonces (X3 + 3X2 − 1)B0 = (0, 1, 3, 0, −1). ii) Sea V = R 3 y sea E = {(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)} la base can´onica. Entonces para cada (x, y, z) ∈ R 3 , se tiene que (x, y, z)E = (x, y, z). iii) Sea V = R 3 y sea B = {(1, 1, 1),(1, 1, 0),(1, 0, 0)}. Para cada (x, y, z) ∈ R 3 , (x, y, z) = z.(1, 1, 1) + (y − z).(1, 1, 0) + (x − y).(1, 0, 0). Entonces, (x, y, z)B = (z, y − z, x − y). Observemos que el vector de coordenadas en la base B de un elemento de R 3 se obtiene de su vector de coordenadas en la base can´onica multiplicando ´este por una matriz apropiada: Si v ∈ R 3 tiene coordenadas (x, y, z) en la base can´onica E, entonces ((v)B) t =   z y − z x − y   =   0 0 1 0 1 −1 1 −1 0   | {z } C(E,B)   x y z   = C(E, B).((v)E) t . 56 Matrices 2.4.2 Cambios de base Dadas dos bases de un mismo K-espacio vectorial V de dimensi´on finita, cada elemento de V tiene asociados dos vectores de coordenadas (generalmente distintos), uno en cada una de las bases. Con la ayuda de cierta matriz, llamada de cambio de base, se pueden obtener las coordenadas de un vector con respecto a una base de V a partir de las coordenadas del vector en otra base. Definici´on 2.16 Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´on n, y sean B1 = {v1, . . . , vn} y B2 = {w1, . . . , wn} bases de V . Para cada 1 ≤ j ≤ n, sean αij ∈ K (1 ≤ i ≤ n) tales que vj = Pn i=1 αijwi . Se llama matriz de cambio de base de B1 a B2, y se nota C(B1, B2) ∈ Kn×n, a la matriz definida por (C(B1, B2))ij = αij para cada 1 ≤ i, j ≤ n. En otros t´erminos, la matriz de cambio de base C(B1, B2) ∈ Kn×n es la matriz cuya j-´esima columna son las coordenadas en la base B2 del j-´esimo vector de la base B1, para cada 1 ≤ j ≤ n. Ejemplo. Sea V = R 3 . Consideremos las bases B1 = E = {(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)} y B2 = {(1, 1, 1),(1, 1, 0),(1, 0, 0)}. Para construir la matriz C(B1, B2) ∈ R 3×3 , comenzamos por escribir los elementos de B1 como combinaci´on lineal de los de B2: (1, 0, 0) = 0.(1, 1, 1) + 0.(1, 1, 0) + 1.(1, 0, 0) (0, 1, 0) = 0.(1, 1, 1) + 1.(1, 1, 0) + (−1).(1, 0, 0) (0, 0, 1) = 1.(1, 1, 1) + (−1)(1, 1, 0) + 0.(1, 0, 0) Entonces, la matriz de cambio de base es: C(B1, B2) =   0 0 1 0 1 −1 1 −1 0   . (Comparar con el Ejemplo iii) de la secci´on anterior.) La proposici´on siguiente muestra que la matriz de cambio de base cumple la propiedad que hemos mencionado al comienzo de esta secci´on. Proposici´on 2.17 Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´on finita, y sean B1 y B2 bases de V . Entonces, para cada x ∈ V , C(B1, B2).((x)B1 ) t = ((x)B2 ) t . Demostraci´on. Sean B1 = {v1, . . . , vn} y B2 = {w1, . . . , wn}. Supongamos que, para cada 1 ≤ j ≤ n, vj = Pn i=1 αijwi , con αij ∈ K para cada 1 ≤ i ≤ n; es decir, (C(B1, B2))ij = αij (1 ≤ i, j ≤ n). 2.4 Coordenadas 57 Sea x ∈ V . Si x = Pn k=1 akvk, entonces para cada 1 ≤ h ≤ n, ³ C(B1, B2).((x)B1 ) t ´ h = Xn r=1 αhrar. Si bh = Pn r=1 αhrar para cada 1 ≤ h ≤ n, por la unicidad de las coordenadas en una base, para probar que (x)B2 = (b1, . . . , bn) basta ver que x = Pn h=1 bhwh. Ahora, Xn h=1 bhwh = Xn h=1 ³Xn r=1 αhrar ´ wh = Xn h=1 ³Xn r=1 αhrarwh ´ = = Xn r=1 ³Xn h=1 αhrarwh ´ = Xn r=1 ar ³Xn h=1 αhrwh ´ = Xn r=1 arvr = x, que es lo que quer´ıamos probar. ¤ Una pregunta que surge es la de la unicidad de la matriz de cambio de base: dadas dos bases B1 y B2, la matriz C(B1, B2) que hemos definido transforma coordenadas en la base B1 en coordenadas en la base B2. ¿Existir´a alguna otra matriz en Kn×n con esta misma propiedad? El resultado que probamos a continuaci´on nos asegura que no. Proposici´on 2.18 Sean A, A0 ∈ Kn×n. Si A.x = A0 .x para todo x ∈ Kn, entonces A = A0 . Demostraci´on. Sea E = {e1, . . . , en} la base can´onica de Kn. Por hip´otesis, A.ej = A0 .ej para cada 1 ≤ j ≤ n. Pero (A.ej )i = Xn h=1 Aih(ej )h = Aij y (A 0 .ej )i = Xn h=1 A 0 ih(ej )h = A 0 ij para cada 1 ≤ i ≤ n, de donde Aij = A0 ij para todo 1 ≤ i, j ≤ n. Luego, A = A0 . ¤ De las proposiciones anteriores se desprende: Observaci´on 2.19 Dadas dos bases B1 y B2 de un espacio vectorial V de dimensi´on n, la matriz C(B1, B2) es la ´unica matriz en Kn×n que verifica C(B1, B2)((x)B1 ) t = ((x)B2 ) t para todo x ∈ V . Esta observaci´on dice que si una matriz A verifica A.((x)B1 ) t = ((x)B2 ) t para todo x ∈ V , entonces necesariamente A = C(B1, B2). Utilizando este resultado, es f´acil probar las igualdades que enunciamos a continuaci´on. Corolario 2.20 Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´on finita, y sean B1, B2 y B3 bases de V . Entonces: 58 Matrices 1. C(B1, B3) = C(B2, B3).C(B1, B2). 2. C(B2, B1) = C(B1, B2) −1 . Para terminar, probaremos algunos resultados que relacionan matrices inversibles con cambios de base. Proposici´on 2.21 Sea A ∈ GL(n, K). Existen bases B1, B2 de Kn tales que A = C(B1, B2). Demostraci´on. Supongamos que Aij = aij para cada 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n. Sea B2 = E = {e1, . . . , en}, la base can´onica de Kn, y sea B1 = n Pn i=1 ai1.ei , . . . , Pn i=1 ain.ei o . Veamos que B1 es una base de Kn, para lo cual basta ver que B1 es un conjunto linealmente independiente. Supongamos que Pn j=1 αj ³ Pn i=1 aij .ei ´ = 0. Entonces 0 = Xn j=1 ³Xn i=1 αjaij ei ´ = Xn i=1 ³Xn j=1 αjaij ei ´ = Xn i=1 ³Xn j=1 αjaij´ ei , de donde Pn j=1 aijαj = 0 para cada 1 ≤ i ≤ n, o equivalentemente, A.   α1 . . . αn   = 0. Como A es inversible, esto implica que α1 = · · · = αn = 0. Luego B1 es linealmente independiente y, en consecuencia, una base de Kn×n. Es claro que C(B1, E) = A. ¤ Proposici´on 2.22 Sea A ∈ GL(n, K) y sea B una base de Kn. Entonces: i) Existe una base B1 de Kn tal que A = C(B1, B). ii) Existe una base B2 de Kn tal que A = C(B, B2). Demostraci´on. i) Se prueba en forma an´aloga a la proposici´on anterior, reemplazando la base can´onica E por la base B dada. ii) Por la parte i), dadas A−1 ∈ GL(n, K) y la base B de Kn, existe una base B2 de Kn tal que A−1 = C(B2, B). En consecuencia, A = C(B2, B) −1 = C(B, B2). 

BIOGREFÍA.

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