GEOMETRÍA PROYECTIVA.

GEOMETRÍA PROYECTIVA.

Programa de Erlanger"

El matemático alemán Felix Klein (1849 - 1925) llamó hiperbólica a la geometría de Gauss, Lobachevsky y Bolyai. Klein hizo ver que la geometría hiperbólica y la doble elíptica podían englobarse dentro de la geometría proyectiva. En ese tiempo se demostró además que la euclidiana era un caso de la proyectiva.

Akenaton.

Klein demostraría que la métrica proyectiva de Cayley coincidía con la métrica del espacio de curvatura constante negativa. La métrica de Cayley era el logaritmo de la relación anarmónica de dos puntos con la absoluta (proyectiva). Usando esto, Klein logra demostrar que la geometría hiperbólica refiere a la geometría de los subgrupos de las transformaciones proyectivas a través de las cuales la absoluta se transforma en sí misma. Es decir:

"Trece años después de que Cayley redujera las propiedades métricas a las proyectivas por medio de su absoluto, Klein (1871) se dio cuenta de que las definiciones proyectivas de distancia y de ángulo constituían una unificación simple de la geometría euclidiana y de las geometrías clásicas no euclidianas. Klein demostró que esas geometrías no se diferencian en esencia más que en sus respectivas funciones distancia. En la definición de Cayley se pueden elegir la constante k y la cónica fijada como absoluto, de tal manera que las respectivas geometrías clásicas de Lobachewsky y Bolyai, Riemann y Euclides están completamente determinadas según que el absoluto sea real, imaginario, o degenerado.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 365]

Este tipo de reducción era parte de la clasificación general que realizó Klein: el "Programa de Erlanger''. La idea básica refiere a la utilización de la teoría de grupos. La geometría se puede ver como el estudio de movimientos en el espacio. Un movimiento es una transformación. En ese sentido se puede hablar de operaciones entre movimientos, inversa de movimientos, movimiento neutro, etc.

Para Bell se trataba de lo siguiente:

"El segundo gran dominio que se aprovechó más o menos indirectamente de la obra de los algebristas, fue la geometría. Apenas cabe lugar a dudas de que la rehabilitación de la geometría proyectiva analítica que hicieron Cayley, Möbius, Plücker, Clebsch, Hesse (alemán, 1811 - 1874) y otros muchos como resultado parcial de la obra que se hizo sobre los invariantes algebraicos, fue el factor que determinó la síntesis de Klein de 1872. Los algebristas y los que se dedicaban a la geometría proyectiva no percibieron el núcleo del asunto. Klein [Nota de Bell: aquí hay una posible disputa de prioridad; Lie tiene muchos derechos] lo vio al reconocer que ciertas manifestaciones de la invariancia van acompañadas por un grupo adecuado: las operaciones del grupo en cuestión no cambian los invariantes correspondientes; recíprocamente todas las operaciones que no hacen cambiar a ciertos objetos forman un grupo. (Lo anterior no es más que una descripción muy a grandes rasgos, sujeta a limitaciones y a excepciones). [Nota de Bell: necesitado históricamente por nociones imprecisas, en los primeros tiempos de 'grupo', tal como se suele definir ahora técnicamente. La obra, que se hizo en los primeros tiempos, necesita por este motivo ser refundida en parte]. Aquí tenemos, por fin, una perspectiva amplia sobre la masa de teorías especiales que hacia 1870 integraban la geometría cuando los grupos de transformación de Lie proporcionaron los medios para unificarla toda según el programa de Klein.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 445]

Klein notó, en efecto, que los movimientos considerados en la geometría forman grupos, aunque los movimientos son diferentes si se trata de una geometría hiperbólica o de una euclidiana. Y aquí entra toda la potencia del álgebra.

Ahora bien, hay propiedades de los objetos espaciales que son invariantes respecto a algunos movimientos o transformaciones. Se puede considerar un grupo de transformaciones y analizar cuáles son los objetos que permanecen invariantes ante ellas. Resulta entonces, por ejemplo, que al estudiar los invariantes de la traslación se encuentra la geometría euclidiana. Aquí las longitudes y áreas son invariantes.

Se obtiene la geometría afín cuando consideramos los invariantes de las transformaciones afines:

siempre que el determinante  sea distinto de 0.

Note que basta con que se pida que ese determinante sea igual a 1, para obtener la geometría euclidiana. Es decir, la euclidiana es un caso particular de la afín.

En el caso de la geometría afín las longitudes y las áreas no son invariantes, aunque las cónicas sí se transforman en cónicas. El nombre de afín viene de que a cada punto finito toda transformación afín le hace corresponder otro punto finito.

La geometría proyectiva sale de considerar los invariantes de las transformaciones lineales fraccionarias del tipo

La geometría afín y por lo tanto la euclidiana también son casos particulares de la proyectiva. Pero hay mucho más: la geometría hiperbólica cae dentro de una parte de la proyectiva, la que estudia los invariantes de las transformaciones proyectivas que transforman en sí mismos los puntos de cierta circunferencia. Aquí también se clasifican las transformaciones continuas, asunto que refiere a la topología.

De Lorenzo, resume estos trabajos:

"Es una inversión radical, que hace variar la perspectiva, el enfoque del objeto geométrico. Desde esta ruptura se pueden tomar los grupos de transformaciones en toda su generalidad; cada uno de ellos determinará su geometría correspondiente. Las geometrías quedan así clasificadas y estructuradas precisamente por el grupo que las caracteriza. Esto conlleva la posibilidad de construir las geometrías que cada matemático prefiera, siempre que consiga dar un grupo adecuado. La libertad creadora de geometrías -problema nuevo- dependerá, entonces, de la existencia de los distintos grupos de transformación que puedan establecerse y, posteriormente, cabe 'adaptarle convenientemente nuestras concepciones geométricas'. Libertad no sólo de geometrías, sino de espacios en los cuales tengan sentido las mismas.

Los trabajos de Sophus Lie, de Klein, se orientan en esta línea. A partir de los grupos de transformación pueden estudiarse no sólo los elementos geométricos, que ahora se muestran como desligados totalmente de la propia representación sensible, figurativa, no siendo más que 'puntos' en una multiplicidad abstracta, sino otros elementos como los puramente algebraicos o del análisis, como pone de relieve Lie en las transformaciones infinitesimales y en las ecuaciones diferenciales, Klein en las funciones modulares elípticas o Poincaré creando a partir de 1875 el grupo de las funciones meromorfas y automorfas con apoyatura intuitiva en la geometría hiperbólica de Lobatchevski. El grupo constituye la estructura base que, convenientemente traducido, permitirá enunciar propiedades geométricas, o analíticas... Ha desaparecido, con ello, la noción de geometría como estudio de los objetos de el espacio. Ahora, el objeto de estudio es este mismo espacio, esa multiplicidad abstracta de objetos no previamente dados o determinados, con sus transformaciones correspondientes.

Lo que interesa destacar en la ruptura de Klein, básicamente, es el hecho de haber marcado la limitación de las geometrías tanto en el sentido querido por Poncelet, como en el de coordenadas; haber invertido la noción de espacio pasando a manejar las multiplicidades cualesquiera en lugar del espacio sensible que había sido elevado a categoría de espacio geométrico absoluto y, fundamentalmente, haber puesto de relieve que el matemático maneja multiplicidades abstractas y transformaciones de las mismas. [de Lorenzo, J.: La matemática y el problema de su historia, p. 67, 68]

Clasificación de Klein.

Thoth , diosa de la Luna en Egipto.

Con una influencia directa de los alemanes Klein o Clebsch, o el inglés Cayley, los matemáticos italianos se interesaron en la teoría de invariantes algebraicos (Francesco Brioschi), en la estática gráfica (Luigi Cremona), y en la geometría (Eugenio Beltrami, discípulo de Brioschi).

En 1918, Veblen resume el concepto de geometría así:

"Se define una geometría como un sistema de definiciones y de teoremas invariantes bajo un grupo dado de transformaciones... A propósito de toda relación geométrica hay que tener en cuenta dos grupos de transformaciones: un grupo por medio del cual poder definir la relación; un grupo bajo el cual la relación es invariante. Cuanto más restringido sea el grupo habrá más figuras distintas con respecto a él y más teoremas aparecerán en la geometría. El caso extremo es el grupo correspondiente a la identidad (la transformación que deja todo invariante), cuya geometría es demasiado extensa para que tenga importancia alguna''. [O. Veblen, en Veblen y J. W. Young, Projective geometry, Boston, 1918, Tomo 2, cap. 3]. Citado en [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 457-458].

Y en 1928 el mismo Veblen concluye:

"El punto de vista de Klein fue el dominante durante el primer medio siglo después de que fuera enunciado... Fue una orientación muy útil para el estudio y la investigación. Los geómetras opinaban que era una formulación general correcta de lo que trataban de hacer, ya que todos tenían del espacio la idea de que es un lugar en el que las figuras se mueven y pueden ser comparadas unas con otras (como ya se indicó implícitamente con anterioridad a propósito de la revisión de Lie de la geometría cinemática de Helmholtz). La naturaleza de esa movilidad era lo que distinguía unas geometrías de otras.

Con el advenimiento de la Relatividad nos dimos cuenta de que no se necesitaba considerar el espacio tan solo como 'un lugar en el cual', sino que puede tener una estructura, una teoría de los campos propia. Esto atrajo la atención precisamente sobre las geometrías riemannianas, de las que el Erlanger Programm no decía nada, es decir, aquellas cuyo grupo es la identidad. En esos espacios en esencia no hay más que una figura que es la estructura del espacio como un todo. Quedó perfectamente claro que en algunos aspectos el punto de vista de Riemann (1854) era más fundamental que el de Klein.'' [O. Veblen y J. H. C. Whitehead, Foundations of differential geometry, Cambridge, 1932, O. Veblen, Atti del congresso internat dei matematici, Bolonia, 1928, 1981]. Citado en [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 457-458].

Todo este proceso se inscribía en una potenciación del carácter abstracto de las matemáticas. Como Bell añade:

"Hilbert convenció a los geómetras, valiéndose de un mínimo de simbolismo, y con más éxito que el alcanzado por Pasch y Peano, del carácter abstracto y puramente formal de la geometría, y con su gran autoridad estableció firmemente el método postulacional, no solo en la geometría del siglo XX, sino también en casi todas las matemáticas posteriores a 1900. Subrayamos una vez más que la manera abstracta de abordar las matemáticas no desterró por completo la intuición. Tampoco se puede decir que las aplicaciones del análisis postulacional sean sino una pequeña fracción de las matemáticas del siglo XX. Pero fueron un potente catalizador para las matemáticas, y atrajeron centenares de prolíficos trabajadores.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 347]

BIOGRAFÍA.

http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap21/Parte04_21.htm