ANÁLISIS COMPLEJO

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Conceptos básicos 1.1. El cuerpo de números complejos Definimos sobre el R -espacio vectorial R 2 un producto, de forma que para cada par (x, y), (x 0 , y 0 ) de vectores en R 2 , (x, y)(x 0 , y 0 ) = (xx0 − y y0 ,x y0 + x 0 y) (I.1) La función x ∈ R −→ (x, 0) ∈ R 2 identifica a R con un subespacio de R 2 , y escribiremos x al vector (x, 0) ∈ R 2 en lo que sigue. En particular 1 = (1, 0) es la unidad para la multiplicación (I.1). Si definimos i = (0, 1) resulta que i 2 = −1, y que todo vector en R 2 se escribe de forma única como x +i y con x, y ∈ R. Proposición 1.1. Con la suma usual y el producto (I.1), el R-espacio vectorial R 2 es un cuerpo. Notamos por C al cuerpo (R 2 ,+,·, 1) y lo llamamos el cuerpo de los números complejos. Un elemento de C se llama un número complejo, que solemos notar genéricamente por z. Demostración. Por su definición, está claro que el producto que definimos en C es R-bilineal, es además conmutativo porque el producto en R lo es, es una verificación di I 1. CONCEPTOS BÁSICOS 3 notamos z. Parte de la demostración anterior afirma entonces que si z 6= 0, z −1 = z |z| 2 es el inverso multiplicativo de z. Decimos que x es la parte real de z y escribimos ℜz = x, y decimos que y es la parte imaginaria de z y escribimos ℑz = y. El Respacio vectorial R 2 está munido de un producto interno usual que se transporta a C. Dado otro número complejo w = x 0 +i y0 , una verificación inmediata prueba que 〈z,w〉 = ℜ(zw). El conjunto C es un espacio métrico completo con la métrica entre vectores z,w ∈ C dada por d(z,w) = |z −w|, que llamamos la métrica usual. Además, vale que el producto C×C −→ C es una función continua, pues para cada z,w ∈C vale que |zw| = |z||w|. Por otro lado, la conjugación C −→ C es un homomorfismo de cuerpos, pues 1¯ = 1 y 0¯ = 0 y, dados z,w ∈ C, vale que z w = zw y z +w = z +w, que además fija puntualmente a R. El lector debería verificar la validez de las siguiente propiedades para z,w ∈ C; la primera de ellas extiende nuestra última afirmación. (1) z = z¯ ⇐⇒ z ∈ R. (2) ℜz = 1 2 (z + z¯) (3) ℑz = 1 2i (z − z¯) (4) z = z (5) 〈z,w〉 = 〈z,w〉 (6) 〈z,w〉 2 + 〈i z,w〉 2 = |z| 2 |w| 2 (7) |〈z,w〉| É |z||w| (8) |z +w| 2 = |z| 2 +2〈z,w〉 +|w| 2 1.2. Funciones con valores complejos Sea X un espacio métrico. Notamos por C (X) al conjunto de funciones continuas f : X −→ C, y lo llamamos el espacio de funciones continuas sobre X. Un 4 ANÁLISIS COMPLEJO I elemento de C (X) es una función compleja sobre X; cuando X este implícito por contexto, habl I 2. EL PLANO COMPLEJO EXTENDIDO 5 unidad S 2 en R 3 y definimos la proyección estereográfica desde N como la función π : S 2 à N −→ C (x, y,u) 7−→ x +i y 1−u Proposición 2.1. La proyección estereográfica desde N es un homeomorfismo y su inversa está dada por θ : C −→ S 2 à N z 7−→ µ 2ℜz 1+|z| 2 , 2ℑz 1+|z| 2 , |z| 2 −1 |z| 2 +1 ¶ . Notemos que para v ∈ S 2 à N el punto π(v) no es otra cosa que la intersección de la recta que pasa por v y N con C. Demostración. Por construcción tanto π como θ son funciones continuas, donde S 2 está munida de la métrica usual entre puntos de R 3 y C con la métrica usal entre puntos de R 2 . Dejamos al lector la verificación de que son inversas una de la otra. Î La proposición anterior le da a C una nueva métrica db, conocida como la métrica cordal, inducida por la métrica de S 2 tal que db(z,w) = 2|z −w| ((1+|z| 2 )(1+|w| 2 ))1/2 , y prueba que los abiertos de esta métrica coinciden con los abiertos de la métrica usual. 2.2. El punto en el infinito Escribimos ∞ a un elemento fuera de C, que llamamos el punto en el infinito, y notamos por C ∗ al conjunto C∪{∞}. Extendemos la definición de las funciones π y θ de forma que π(0, 0, 1) = ∞ y θ(∞) = (0, 0, 1). 6 ANÁLISIS COMPLEJO I Definimos una base de entornos abiertos de ∞ en C ∗ por el conjunto de anillos infinitos A(r ) = {z ∈ C : |z| > r }∪{∞} para r > 0 de modo que una sucesión (zn) ∈ C ∗ tiende a ∞ si y solamente si, para todo r > 0 está eventualmente en A(r ). Notemos que, con esta extensión de π y θ, obtenemos para z ∈ C que db(z,∞) = 2 (1+|z| 2 ) 1/2 por lo que según nuestra definición anterior, (zn) ∈ C converge a ∞ si y solamente si db(zn,∞) → 0. Notemos, además, que si (vn) es una sucesión en S 2 que converge a (0, 0, 1), su imagen en C ∗ converge a ∞. Recíprocamente, si (zn) es una sucesión en C ∗ que converge a ∞, su imagen en S 2 converge a N. Está clara ahora la validez de la siguiente proposición. Proposición 2.2. Las funciones extendidas π : S 2 −→ C ∗ , θ : C ∗ −→ S 2 son homeomorfismos inversos. Esto prueba que C ∗ es un espacio métrico compacto, en particular completo, y que contiene a C como un subespacio abierto denso. Recordemos que en este caso el espacio métrico C ∗ se llama la compactificación por un punto de C o compactifiación de Alexandroff de C, y la propiedad anterior lo caracteriza unívocamente. Es usual llamar al espacio métrico C ∗ la esfera de Riemann. Proposición 2.3. La proyección estereográfica desde N lleva círculos en la esfera a círculos o líneas en el plano complejo, y recíprocamente. Demostración. Consideremos primero un círculo en la esfera, que se obtiene intersecándola con un plano Π de ecuación Ax +B y +Cu = D. I 3. DERIVADAS COMPLEJAS 7 Usando ahora coordenadas z = x +i y en C con θ, obtenemos la ecuación (C −D)(x 2 + y 2 )+2Ax +2B y +D −C = 0, que es una recta si C = D y es un círculo en otro caso. Recíprocamente, volviendo sobre nuestros pasos obtenemos que toda línea o círculo en el plano complejo es la imagen de un círculo en la esfera. Además, el plano Π pasa por N si y solamente si C = D, que prueba que las rectan se obtienen de los círculos que pasan por el polo norte, y que los círculos se obtienen de los restantes. Î Ejercicio 2.1. Dado un plano arbitrario como el de la demostración, ¿cuáles son condiciones necesarias y suficientes sobre A,B,C y D para asegurarse que su intersección con la esfera es un círculo? La función continua C ∗ −→ C ∗ tal que z 7−→ z −1 si z 6= 0,∞ y tal que 0 7−→ ∞ e ∞ 7−→ 0 nos permitirá transportar definiciones usuales en C a definiciones en un entorno de ∞, como veremos más adelante. Extendemos parcialmente las operaciones de C a C ∗ de forma que z + ∞ = z −∞ = ∞ para todo complejo z ∈ C. Definimos también para z 6= 0, z ·∞ = ∞, ∞ ·∞ = ∞. Finalemente, ponemos z/∞ = 0, ∞/z = ∞, y z/0 = ∞, en este último caso asumimos que z 6= 0. 3. Derivadas complejas 3.1. Definición y propidades elementales Fijemos un conjunto abierto Ω de C, una función f : Ω −→ C y un punto c ∈ Ω. Decimos que f es derivable en c si existe una función f1 : Ω −→ C, continua en c, tal que f (z) = f (c)+ f1(z)(z −c). 8 ANÁLISIS COMPLEJO I En tal caso notamos f 0 (c) al número f1(c) y lo llamamos la derivada de f en c. Esta condición equivale a que exista el límite l´ım h→0 f (c +h)− f (c) h (I.2) que en tal caso es igual a f1(c). De la definición deducimos que si f es derivable en c, es continua allí. Todas las reglas usuales de cálculo para derivadas reales valen para las derivadas de funciones complejas, y la demostración de su validez es idéntica a la que damos en el caso real, por lo que la que la omitimos. Proposición 3.1. Sea g : Ω −→ C otra función, y supongamos que f y g son ambas derivables en c ∈ Ω. (1) C-linealidad. Si λ ∈ C entonces f +λg es derivable en c y (f +λg ) 0 (c) = f 0 (c)+λg 0 (c). (2) Regla de Leibniz. El producto f g es derivable en c y (f g ) 0 (c) = f 0 (c)g (c)+ f (c)g 0 (c). (3) Cocientes. Si g (c) 6= 0, el cociente f /g es derivable en c y (f /g ) 0 (c) = f 0 (c)g (c)− f (c)g 0 (c) g (c) 2 . (4) Regla de la cadena. Si h : Ω1 −→ Ω es derivable en c1 y h(c1) = c, entonces g ◦h es derivable en c, y (g ◦h) 0 (c) = g 0 (c)·h 0 (c1). Como ejercicio, el lector puede verificar que todo polinomio complejo es derivable en cualquier punto de C, y que su derivada compleja se calcula de la misma manera que en el caso real. Así, por ejemplo, la derivada de z 2 es 2z. I 3. DERIVADAS COMPLEJAS 9 Decimos que f es holomorfa en c si es derivable en un entorno abierto de c, y que es holomorfa en Ω si es holomorfa en cada punto de Ω. Por definición resulta que el conjunto de puntos de Ω donde f es holomorfa es un conjunto abierto. Una función holomorfa en C se dice entera. 3.2. Relación con la derivabilidad real Dado que f es una función de un abierto de R 2 a R 2 , tiene sentido considerar la derivabilidad real de f tanto como su derivabilidad como fue definida en la sección anterior. Escribimos, como antes, u = ℜf y v = ℑf . Recordemos que f es R-diferenciable en c si existe una transformación lineal T : R 2 −→ R 2 , que llamamos la derivada total de f en c y notamos D f (c), tal que l´ım h→0 |f (c +h)− f (c)−D f (c)(h)| |h| = 0. Recordemos, también, que si esto vale tanto u como v admiten derivadas parciales en c, y que la matriz de D f (c) en la base canónica de R 2 está dada por Df (c) =      ∂u ∂x (c) ∂u ∂y (c) ∂v ∂x (c) ∂v ∂y (c)      . La relación entre la derivabilidad y la R-diferenciabilidad de f es el contenido de la siguiente proposición. Proposición 3.2. Son equivalentes (1) f es derivable en c, (2) f es R-diferenciable en c y vale que ∂u ∂x (c) = ∂v ∂y (c) y ∂u ∂y (c) = − ∂v ∂x (c), (I.3) (3) f es R-diferenciable en c y la derivada total de f en c es C-lineal. En tal caso, f 0 (c) = ∂u ∂x (c)+i ∂v ∂x (c) = ∂v ∂y (c)−i ∂u ∂y (c). 10 ANÁLISIS COMPLEJO I Llamamos al par de ecuaciones (I.3) las ecuaciones de Cauchy–Riemann para f en c. Demostración. Supongamos que vale (1). En primer lugar, la función f es R-diferenciable en c: en efecto, la multiplicación por el escalar f 0 (c) es una transformación Clineal y luego R-lineal, y si la notamos T : C −→ C, sabemos que l´ım h→0 f (c +h)− f (c)−T (h) h = 0. En el límite (I.2) podemos considerar el caso en que h se aproxima a cero por la recta real o por la recta imaginaria. Si c = a + bi, en el primero de los casos, tal límite es igual a l´ım t→0 u(a + t,b)−u(a,b) t +i v(a + t,b)− v(a,b) t y en el segundo es igual a l´ım t→0 u(a,b + t)−u(a,b) i t + v(a,b + t)− v(a,b) t . Esto prueba, primero, que existen las derivadas parciales que aparecen en (I.3) y segundo, que tales ecuaciones valen, por lo que (1) =⇒ (2). Supongamos que tales ecuaciones valen y que f es R-diferenciable en c. La transformación lineal D f (c) es tal que D f (c)(1) = ∂u ∂x (c)+i ∂u ∂y (c), D f (c)(i) = ∂v ∂x (c)+i ∂v ∂y (c), y es C-lineal si y solamente si iD f (c)(1) = D f (c)(i), que no es otra cosa que una reescritura de las ecuaciones (I.3). En este caso, D f (c) es la transformación C-lineal dada por la multiplicación por λ = D f (c)(1), y la condición de R-derivabilidad dice que l´ım h→0 |f (c +h)− f (c)−λh| |h| = 0 esto es, que l´ım h→0 f (c +h)− f (c) h = λ. I 3. DERIVADAS COMPLEJAS 11 Concluímos que f es derivable en c y que f 0 (c) = D f (c)(1), que, junto con las ecuaciones de Cauchy-Riemann, dan la última afirmación de la proposición. Î Una transformación lineal T : C −→ C se C-antilineal si la transformación lineal z 7−→ T (z¯) es C-lineal. El siguiente lema nos permitirá dar una escritura general y conveniente de la derivada total de f en c en términos de sus derivadas parciales, y también obtener una reescritura muy compacta de las ecuaciones de Cauchy–Riemann. Lema 3.3. Sea T : C −→ C una transformación R-lineal. Existen únicos escalares λ,µ ∈ C tal que T (z) = µz +λz. Además, T es C-lineal si y solamente si λ = 0, y es C-antilineal si y solamente si µ = 0. En el primer caso T es la multiplicación por T (1), y en el segundo caso T es la conjugación seguido de la multiplicación por T (1). Demostración. Dado z = x +i y, la R-linealidad de T garantiza que T (z) = xT (1)+ yT (i) = z + z¯ 2 T (1)+ z − z¯ 2i T (i) = 1 2 (T (1)−iT (i))z + 1 2 (T (1)+iT (i))z¯ = µz +λz¯. Esto prueba la existencia y la unicidad de tales escalares, pues se obtienen de los valores T (1) y T (i), que determinan y están determinados unívocamente por T . Además µ = 0 si y sólo si −iT (1) = T (i), y en este caso λ = T (1), y λ = 0 si y sólo si iT (1) = T (i), y en este caso µ = T (1), que da la segunda parte del lema. Î Definimos la derivada de f respecto de x en c y la derivada de f respecto de y en c por ∂f ∂x (c) = ∂u ∂x (c)+i ∂v ∂x (c) y ∂f ∂y (c) = ∂u ∂y (c)+i ∂v ∂y (c), 12 ANÁLISIS COMPLEJO I respectivamente. Notemos que no son otra cosa que D f (c)(1) y D f (c)(i), así aplicando el lema a la función lineal D f (c), obtenemos que para todo z ∈ C vale la igualdad D f (c)(z) = ∂f ∂z (c)z + ∂f ∂z (c) I 3. DERIVADAS COMPLEJAS 13 Diremos que T preserva la orientación si la matriz de T en la base canónica tiene determinante positivo, y que T invierte la orientación si esta matriz tiene determinante negativo. Lema 3.5. Una transformación lineal inyectiva preserva ángulos si y solamente si es C lineal o C-antilineal, y en el primero de los casos preserva la orientación, mientras que en el segundo la invierte. Demostración. Sea T : C −→ C inyectiva, y supongamos primero que preserva ángulos. Como 1 e i son ortogonales, los números T (1) = x + i y, T (i) = x 0 + i y0 son también ortogonales, y lo mismo es cierto para T (1−i) y T (1+i). La primera condición implica que T (1) es un múltiplo escalar de iT (i) = −y 0+i x0 , y de la segunda obtenemos que x 2 + y 2 = x 02 + y 02 , asi T (1) y T (i) tienen la misma norma. Resulta entonces que T (1) = iT (i) o que T (1) = −iT (i): en el primer caso T es C-antilineal, y en el segundo es C-lineal. Notemos, además, que en el primer caso el determinante de T es −|T (1)| 2 , y en el segundo caso es |T (1)| 2 . Si, por otro lado, T es C-lineal o C-antilineal, sabemos que z 7−→ T (z) o z 7−→ T (z¯) es la multiplicación por T (1) ∈C. Es inmediato verificar ahora que T preserva ángulos y, nuevamente, que su determinante es |T (1)| 2 en el primer caso, en el que preserva la orientación, y en el segundo caso es −|T (1)| 2 , en el que la invierte. Î Una transformación lineal T : C −→ C que preserva los ángulos y la orientación se llama una transformación lineal conforme. Decimos que f es conforme en c si su derivada total en c es una transformación lineal conforme. Proposición 3.6. La función f es conforme en c si y solamente si es derivable en c y f 0 (c) 6= 0. Demostración. Si f es conforme en c, entonces D f (c) es C-lineal, por lo que f es derivable en c. Como D f (c) es inyectiva, es un isomorfismo, y su determinante, que es |f 0 (c)| 2 , es no nulo. Si, por otro lado, f es derivable en c y f 0 (c) 6= 0, deducimos que D f (c), que es C-lineal, es un isomorfismo. Luego es inyectiva, y ya vimos que preserva ángulos. Î 14 ANÁLISIS COMPLEJO I Si γ1,γ2 : (−ε,ε) −→ Ω son curvas diferenciables que se intersecan en c, definimos el ángulo entre γ1 y γ2 en c como el ángulo entre γ 0 1 (c) y γ 0 2 (c). Notemos por f∗γ1 y f∗γ2 a las curvas obtenidas al postcomponer a γ1 y γ2 con f . El resultado anterior y la regla de la cadena prueban el siguiente resultado. Corolario 3.7. Si f es conforme en c, el ángulo entre γ1 y γ2 y el ángulo entre f∗γ1 y f∗γ2 en c coinciden. 4. Funciones en C ∗ 4.1. Funciones continuas en el infinito Consideramos ahora el espacio de funciones continuas C (C ∗ ). Dado que C es un subconjunto abierto y denso de C ∗ , tenemos una función de restricción r : C (C ∗ ) −→ C (C) que es inyectiva. Veamos cual es su imagen. Proposición 4.1. Una función continua f : C −→ C es la restricción de una función continua en C ∗ si y solamente si existe y es finito L = l´ımz→∞ f (z). En tal caso, la extensión F de f a C ∗ es tal que F(z) =    f (z) si z ∈ C, L si z = ∞. Demostración. Supongamos que f es la restricción de una función definida en todo C ∗ . Como F(∞) ∈ C y como F es continua en ∞, resulta que l´ımz→∞ f (z) = F(∞), que prueba que L existe y es igual a F(∞). Recíprocamente, si existe tal límite, la definición de F que hicimos en el enunciado del teorema pone en evidencia que F es continua en ∞. Como f es continua en C, esta extensión es continua en todo C ∗ , como queríamos. Î Dada una función f : Ω −→ C donde Ω contiene un entorno perforado de ∞ en I 4. FUNCIONES EN C ∗ 15 C, será usual más adelante que usemos la notación f (∞) para l´ımz→∞ f (z), siempre que este límite exista (posiblemente en C ∗ ). El lector debería poder probar las siguientes proposiciones, cuyas demostraciones son similares a la de la última proposición. Proposición 4.2. Sea Ω un abierto de C, c ∈ Ω y f : Ωàc −→ C continua. Si l´ımz→c f (z) = ∞, existe una única extensión de f a una función continua F : Ω −→ C ∗ tal que F(c) = ∞. Proposición 4.3. Sea Ω∗ un abierto en C ∗ que contiene a ∞ y sea Ω el abierto de C correspondiente. La función de restricción r : C (Ω ∗ ) −→ C (Ω) es inyectiva, y su imagen consiste de las funciónes f en C (Ω) para las que existe y es finito l´ımz→∞ f (z). 4.2. El cuerpo de funciones racionales en C ∗ El espacio de funciones continuas C −→ C ∗ no se presta a una descripción simple como el caso del espacio C (C ∗ ). Contiene, sin embargo, un subespacio de funciones que será suficientemente útil para nuestros fines. Veremos más adelante resultados teóricos que harán más concreta esta afirmación. Una función racional es un cociente f (X) = p(X)/q(X) de polinomios p,q ∈ C[X], donde q es no nulo y (p,q) = 1. Toda función racional f define una función continua Cà Z −→ C, que tambien notamos por f , donde Z es el conjunto de raíces de q. Aunque lo demostraremos más adelante, asumimos conocido el hecho que, si q tiene grado d, existen λ,ξ1,...,ξs ∈ C con s É d y naturales m1,...,ms tal que Ps i=1mi = d de forma que q(X) = λ(X −ξ1) m1 ... (X −ξs) ms . Así Z = {ξ1,...,ξs} y la función f está definida salvo en finitos puntos de C. Sea µ el coeficiente principal de p. Proposición 4.4. Existe una única extensión de f a una función continua F : C ∗ −→ 16 ANÁLISIS COMPLEJO I C ∗ tal que F(w) = ∞ para w ∈ Z y tal que F(∞) =    0 si degp < degq µλ−1 si degp = degq ∞ si degp > degq Llamamos al conjunto de todas las funciones C ∗ −→ C ∗ obtenidas de esta manera el cuerpo de las funciones racionales y lo notamos C(z). Demostración. Veamos primero que l´ımz→s f (z) = ∞ para cada raíz ξ de q. Dado s ∈ Z podemos escribir a f como (z−ξ) −mh(z) donde h(z) es una función racional que no se anula en s y m > 0 es un número natural. Como h tiene límite finito cuando z → s, es suficiente que probemos que l´ımz→ξ(z−ξ) −m = ∞ cuando z → ξ, y esto es inmediato. Es igualmente de inmediato verificar que F(∞) es igual al límite de f en ∞, por lo que queda demostrada la proposición. Î El siguiente resultado justifica el nombre que le dimos al espacio C(z). Proposición 4.5. El conjunto C(z) es un cuerpo. Demostración. Sean f (X) y g (X) funciones racionales, y notemos por f y g a las funciones que definen en C ∗ . Definimos la suma de la función f + g como la función racional que define f (X)+ g (X), y el producto f · g como la función racional que define f (X)g (X). El lector puede verificar que la función racional 1 es la identidad para el producto, que la función racional 0 es la unidad para la suma, y que estas dos operaciones hacen de C(z) un cuerpo, donde si f (X) es una función racional no nula, su inversa multiplicativa está dada por la función racional que define f (X) −1 . Î 4.3. Transformaciones de Möbius Lema 4.6. Si una función racional en C ∗ es inyectiva, está definida por el cociente de dos polinomios de grado a lo sumo 1. I 4. FUNCIONES EN C ∗ 17 Demostración. Sea f una función racional en C ∗ , y supongamos que está definida por f (X) = p(X)/q(X). Si p tiene grado mayor a dos, entonces f se anula en dos puntos distintos, y luego no puede ser inyectiva. Análogamente, si q tiene grado mayor dos, entonces f toma el valor ∞ en dos puntos distintos. Asi p y q tienen ambos grado a lo sumo 1. Î Notemos que si f = p/q es una función racional inyectiva, donde p y q son de grado a lo sumo 1, entonces (1) Si p es constante entonces q es de grado 1, y viceversa. (2) Si p = az +b y q = cz +d son ambos no constantes, no tienen raíz común, así pues ad −bc 6= 0. Llamamos a una función racional biyectiva T : C ∗ −→ C ∗ de la forma T (z) = az +b cz +d una homografía o transformación de Möbius, y escribimos Mob(C ∗ ) al conjunto de todas ellas. Por lo anterior, la condición que T sea biyectiva es equivalente a ac −db 6= 0 y, en este caso, su inversa es T −1 (z) = −d z +b cz − a . Las homografías forman un grupo con operación la composición usual de funciones, esto es: (1) la composición de dos homografías es otra vez una homografía, (2) la composición es asociativa, (3) la composición tiene elementro neutro, la homografía identidad y, (4) toda homografía tiene una inversa para la composición. Notamos por GL(2,C) al conjunto de matrices complejas inversibles de 2 × 2, y lo llamamos el grupo general lineal —como su nombre lo indica, es también un 18 ANÁLISIS COMPLEJO I grupo, con operación el producto usual de matrices, y unidad la matriz identidad. Este grupo de matrices inversibles y el de homografías se relacionan mediante una función sobreyectiva Φ : GL(2,C) −→ Mob(C ∗ ) Φ(A)(z) = A11z + A12 A21z + A22 . Si Φ(A) = T , diremos que A representa a T . El lector puede verificar que para cada par de matrices A,B ∈ GL(2,C), vale que (1) Φ(AB) = Φ(A) ◦Φ(B), (2) Φ(λ1) = idC∗, (3) Φ(A) = idC∗ si y sólo si A = λ1. La seguna condición prueba que si nos restringimos al conjunto de matrices inversibles de 2×2 con determinante 1, que notamos SL(2,C) y llamamos el grupo lineal especial, nuestra función Φ sigue siendo sobreyectiva: si T es una homografía y Φ(A) = T , podemos tomar µ ∈ C tal que µ 2 = det A, y entonces A 0 = µ −1A tiene determinante 1 y por (1) y (2), representa también a T . Además, SL(2,C) es un subgrupo de GL(2,C): contiene a la identidad, y el producto de dos matrices con determinante 1 tiene, otra vez, determinante 1. Si tomamos ahora A,B ∈ SL(2,C) que representan a T , existe λ ∈ C tal que λA = B, y luego, tomando determinantes, resulta que λ 2 = 1, así λ = 1 o −1. Luego, el grupo de homografías Mob(C ∗ ) está en biyección con el conjunto de clases de equivalencia de SL(2,C) para la relación A ∼ B ⇐⇒ A = ±B, que se nota PSL(2,C) y se llama el grupo projectivo lineal especial. Nuevamente, como su nombre lo indica, es un grupo, y la operación está inducida por el producto de matrices: dadas dos clases {A,−A, } y {B,−B}, su producto es la clase {AB,−AB}. Una homografía de la forma ta(z) = z + a se dice una translación de dirección a, una de la forma hb(z) = bz con b ∈ R se dice una homotecia de factor b, una de la forma rθ(z) = e iθ z es una rotación de ángulo θ, y ι(z) = z −1 es la inversión a través del círculo unidad. Por simplicidad, hablaremos de translaciones, homo- I 4. FUNCIONES EN C ∗ 19 tecias e inversiones, y permitiendo que b sea complejo en hb para incluir a las rotaciones. Notemos que las matrices à 1 a 0 1! , à b 0 0 1! , à 0 1 1 0! representan a ta, hb e ι, respectivamente. El lector debería verificar que valen las siguientes relaciones entre estas homografías: (1) ha ◦ tb = tab ◦ha, (2) ha ◦ ι = ι ◦h1/a, La siguiente proposición muestra que estas tres transformaciones elementales son suficientes para obtener cualquier otra homografía. Proposición 4.7. Toda homografía es una composición de traslaciones, homotecias e inversiones. Más precisamente, sea T es una homografía: (1) Si T (∞) = ∞, entonces T = hλ ◦ tµ para ciertos λ,µ ∈ C, y esta escritura es única. (2) Si T (∞) = λ ∈ C, entonces T = tλ◦hµ◦ι◦tτ para ciertos µ,τ ∈ C, y esta escritura es única. Demostración. Supongamos que T está representada por A = ¡ a b c d ¢ con det A = 1. Entonces T fija a ∞ exactamente cuando c = 0 y, en ese caso, T = hλ ◦ tµ dónde λ = T (1)−T (0) y µ = T (0). Si, por otro lado, c 6= 0, como det A = 1 podemos escribir T (z) = − 1 c 2 1 z +dc−1 + a c , que da una escritura de T como composición de translaciones, una inversión y una homotecia, como dijimos, donde λ = a c . Para ver la unicidad, supongamos que tenemos una igualdad tλ ◦hµ ◦ ι ◦ tτ = tλ0 ◦hµ0 ◦ ι ◦ tτ 0. 20 ANÁLISIS COMPLEJO I Por la última observación λ = λ 0 = T (∞), por lo que ι ◦h1/µ ◦ tτ = ι ◦h1/µ0ι ◦ tτ 0. por la relación (2) antes de la proposición. Cancelando ι, resulta que hµ0/µ = tτ 0−τ. Como hµ0/µ(0) = 0, tτ 0−τ es una traslación que fija el origen, así τ = τ 0 , y luego µ = µ 0 . Î Lo anterior prueba que toda homografía depende solo de tres parámetros, la siguiente proposición nos da otra forma, un poco más útil, de entender este fenómeno. Proposición 4.8. Sean z1, z2 y z3 puntos distintos en C ∗ . Existe una única homografía T : C ∗ −→ C ∗ tal que T (z1) = 0, T (z2) = 1, T (z3) = ∞, a saber, T (z) = (z − z1)(z2 − z3) (z − z3)(z2 − z1) . En particular, para cada par de triples (z1, z2, z3) y (w1,w2,w3) de números distintos en C ∗ , existe una única homografía T tal que T (z1) = w1, T (z2) = w2, T (z3) = w3, y se obtiene al despejar w de la igualdad (z − z1)(z2 − z3) (z − z3)(z2 − z1) = (w −w1)(w2 −w3) (w −w3)(w2 −w1) (I.4) Notemos que en el caso que alguno de z1, z2 o z3 es ∞, tenemos que transfor- I 4. FUNCIONES EN C ∗ 21 mar a T en forma acorde. Por ejemplo, si z3 = ∞, T (z) = z − z1 z2 − z1 . Demostración. No hay más que hace que evaluar a T en los puntos dados para verificar que cumple la condición pedida. Si S es otra homografía que cumple esas condiciones, R = T S−1 es una homografía que fija 0, 1 e ∞. Como R(∞) = ∞, R es una homotecia seguida de una traslación, y como R fija el origen y al 1, R debe ser la identidad. Î 4.4. Razón doble e inversión Dada una 4-upla (z, z1, z2, z3) de números distintos en C ∗ , definimos la razón doble (z, z1; z2, z3) usando el lado izquierdo de (I.4). Deducimos inmediatamente parte de la siguiente proposición. Proposición 4.9. Toda transformación de Möbius preservas las razones dobles. Recíprocamente, toda transformación de la esfera a si misma que preserva las razones dobles es una transformación de Möbius. Demostración. Sea T : C ∗ −→ C ∗ una transformación de Möbius y tomemos cuatro puntos distintos z, z1, z2, z3 en C ∗ . Sabemos entonces que T queda determinada despejando w de (I.4), y esto prueba que (z, z1; z2, z3) = (Tz,Tz1;Tz2,Tz3). Recíprocamente, si T : C ∗ −→ C ∗ es una transformación que preserva razones dobles sea w1 = T (0), w2 = T (1) y w3 = T (∞). Si z ∉ {0, 1,∞} entonces z = (z, 0; 1,∞) = (T (z),w1;w2,w3) que permite despejar T (z) como la inversa de una transformación de Möbius. Î Ya sabemos que toda transformación de Möbius es una composición de traslaciones, homotecias e inversiones. Es inmediato que las dos primeras llevan círculos a círculos y rectas a rectas. Para probar la siguiente proposición, es suficiente que veamos que la inversión lleva círculos y rectas a círculos o rectas. Proposición 4.10. Las transformaciones de Möbius llevan círculos y rectas a círculos o rectas. 22 ANÁLISIS COMPLEJO I Si consideramos a las transformaciones de Möbius como automorfismos de S 2 , la proposición dice que llevan círculos a círculos, donde las rectas quedan representadas por los círculos que pasan por el polo norte. Demostración. Como dijimos, es suficiente que probemos que la inversión lleva círculos y rectas a círculos o rectas. La ecuación general de un circulo o una recta en C está dada por A(x 2 + y 2 )+B x +C y +D = 0, donde A = 0 o A 6= 0 acorde a si nuestro conjunto es una recta o un círculo, respectivamente. Si dividimos la ecuación anterior por x 2 + y 2 y pasamos a las coordenadas dadas por z −1 = (x 0 , y 0 ), obtenemos la ecuación A +B x0 −C y0 +D(x 02 + y 02 ) = 0, que es otra vez la de un círculo o una recta. De hecho, esto prueba que la imagen de círculo que pasa por el origen bajo la inversión es una recta que pasa por el origen, y que la imagen de un círculo que no pasa por el origen es otro círculo. Prueba, además, que la imagen de una recta que pasa por el origen es otra recta que pasa por el origen, y que la imagen de una recta que no pasa por el origen es un círculo que pasa por el origen. Î Tomemos tres puntos distintos z1, z2, z3 en C que no son colineales. En tal caso, existe un único círculo C que pasa por esos puntos, como ilustramos en la figura siguiente. Proposición 4.11. Con la notación anterior, un cuarto punto z ∈ C está sobre C si I 5. GRUPOS DE HOMOGRAFÍAS 23 y solamente si la razón doble (z, z1; z2, z3) es un número real. Demostración. En efecto, sea T una transformación de Möbius que lleva (z1, z2, z3) a (0, 1,∞) y sea w = Tz. Sabemos que T (C) es entonces un círculo o una recta, y como contiene a 0, 1,∞ es necesariamente la recta real. Sabemos, además, que (z, z1; z2, z3) = w = (w, 0; 1,∞), y ahora es evidente que w está en R si y solamente si la razón doble (z, z1; z2, z3) es real. Esto prueba lo que queremos.

BIOGRAFÍA.
http://cms.dm.uba.ar/academico/materias/2docuat2017/analisis_complejo/MAIN.pdf