MATEMÁTICAS DEL SIGLO XVII
BARROCO-SIGLO XVII
Los europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas después del renacimiento.
Neper
Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper). El francés Pierre Simón Laplace llegó a decir dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida. La gran aplicación de los logaritmos es simplificar los cálculos.
Logaritmo: del griego «logos» que significa razón, proporción, manera o relación y de «arithmos» que significa número. Nos despejan una variable del exponente de una función. Al principio, Neper llamo a los logaritmos números artificiales.
Para calcular su valor actualmente tenemos las calculadoras científicas, antes se calculaban por medio de tablas. Los logaritmos simplifican los cálculos. Los de Base el número “e” se llaman “neperianos” en honor a su nombre.
La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad clásica.
La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos en la teoría de números.
Fermat
Esta conjetura, conocida como último teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de trabajos en el álgebra y la teoría de números.
La galaxia Magallanes es una de las millones de agrupaciones estelares dispersas en un universo. Ya lo imaginaba infinito Giordano Bruno en el siglo XVI.
El estudio del Universo.
Kepler (1621)
Idea de proximidad en la arquitectura.
Plaza Mayor de Madrid
El barroco español
El estudio de los números reales es la consecuencia de la aceptación del “infinito” de las sucesiones y las series.
Los avances matemáticos influyen en las plantas de las obras más características de esta época.
Plaza de San Pedro en Roma diseñada por BerniniGian Lorenzo Bernini (1598-1680)
Destacan las plantas de la basilical y central, pero con predominio ahora de una nueva línea curva: plantas elípticas, circulares y mixtas. Las cónicas se habían desarrollado y asimilado totalmente.
Descartes, Newton y Leibniz favorecieron su desarrollo, aunque el concepto del finito y el infinito lo trata Galileo al comparar los números y sus cuadrados.
Otros acontecimientos de este siglo fueron:
• Discurso del método (1637) de Descartes, de su descubrimiento de la geo
metría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra (desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometría de las curvas (Fermat había hecho el mismo descubrimiento pero no lo publicó).
• El Discurso del método, junto con una serie de
pequeños tratados con los que fue publicado, ayudó y fundamentó los trabajos matemáticos de Isaac Newton hacia 1660.
• Hoy estudiamos en los niveles obligatorios el “binomio de Newton” y sus aplicaciones.
•El segundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación, por el ingeniero francés Gérard Desargues, de la geometría proyectiva en 1639.
Este trabajo fue alabado por Descartes y por el científico y filósofo francés Blaise Pascal.
Su terminología era difícil y el gran entusiasmo que había causado la aparición de la geometría analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los trabajos del matemático francés Jean Víctor Poncelet.
Las Meninas de Velazquez, con las proyecciones y el número áureo.
Cuadro relacionado con los juegos de azar. Fortaleza, Prudencia, Justicia y Templanza.
Juego de niños
• La aparición de la teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli.
Cartas del siglo XV
Tanto Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, en su Doctrina del azar de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su teoría, que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de seguros.
Proyectiles, detalle de una pintura de 1648
• El descubrimiento más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral , entre 1664 y 1666.
Newton observó en Cambridge que una función curva no crece en la misma proporción que la variable. Compara el crecimiento de la curva con la pendiente de la cuerda en un cierto intervalo. A esto le conocemos actualmente como cociente incremental o cociente de Newton, también en economía tasa de variación.
Su método lleva fácilmente al cálculo de la pendiente de la recta tangente en un punto, pero por acuerdo entre Inglaterra y Alemania, esto se atribuye a Leibniz En 1665 introdujo el
concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.
Leibniz a su vez en Alemania, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como el límite de un cociente incremental y no como una velocidad. A él debemos el concepto de derivada o pendiente de la recta tangente a una curva en un punto.
DERIVADA en un punto de una curva es la pendiente de su recta tangente en el punto. Varía en cada punto dando lugar a la función derivada.
No está claro si se le ocurrió antes que a Newton.
Además observó que todo el desarrollo del cálculo diferencial, tenía que llevar una simbología, porque de otro modo los cálculos eran muy complicados.
Fue el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos (dy)/(dx) de la derivada y el símbolo de la integral.
Fue sin lugar a dudas el descubrimiento que generó un cambio radical en la historia, porque a partir de este momento la tecnología avanza imparable hasta nuestros días. No solo el de la derivada, sino también su operación inversa, la integral.
Desde este momento pierden importancia, sin abandonarla, la aritmética, la trigonometría y la geometría.
IMPORTANCIA DE LA DERIVADA:
- A partir de su descubrimiento, la evolución de la física fue lo que hizo que se desarrollara toda la tecnología , con un crecimiento imparable hasta la actualidad.
- Imprescindible es los cálculos aplicados a toda la tecnología.
- Imprescindible en los cálculos de la economía.
- Se aplica en la biología.
- A la geología
- En la sociología
- En la informática.
- La derivada me da la velocidad que lleva un proyectil en cada momento.
Las aplicaciones de las derivadas están en la vida actual maximizando las ganancias, minimizando los costes y los espacios. Las integrales nos miden las áreas, los volúmenes y las longitudes generadas por las funciones de una manera exacta.
En la física, la velocidad es una derivada, la aceleración es una derivada, el trabajo es una integral.…
En economía medimos los cambios, el crecimiento y el decrecimiento, la tendencia.
La probabilidad es una integral en los experimentos de variable continua, lo mismo que la media o la desviación típica.
Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval.
Fue tal la importancia de estas demostraciones que Inglaterra y Alemania disputaron su autoría, llegando a la conclusión de dividir la demostración en dos partes, así el cociente incremental de dos funciones de atribuye a Newton y la definición de derivada a Leibniz. Éste fue luego el que culminó todas sus fórmulas y desarrolló el cálculo integral.
- El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.
- Sus aplicaciones a los cálculos de áreas y volúmenes de una manera exacta a partir del cálculo integral, hicieron que las estructuras fuesen mucho más complejas.
Si Leibniz no hubiera trabajado en el Cálculo Integral y no se hubiera desarrollado la Geometría Descriptiva, Guarini no hubiera podido construir la cúpula de San Lorenzo en Turín.
La catedral de Florencia- Gótica
Guarini utilizó sus conocimientos matemáticos para el diseño de la cúpula de esta catedral.La variación y los incrementos aparecen en las cálculos de Descartes y que luego culminan Newton y Leibniz.
- Cálculos mucho más complicados que en el románico.
Los espacios se llenan de esculturas, las columnas se desprenden del muro y el efecto general es de mayor riqueza y movimiento. Este efecto también se desprende del concepto de límite.
Iglesia de San Carlos de las cuatro fuentes. Roma. 1634-41. F. Borromini.
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