Matemáticas del siglo XXI

Cauchy y el rigor en el análisis matemático Muchos historiadores de la matemática afirman que el rigor en matemáticas nació con Augustin-Louis Cauchy. Todo un revolucionario, Cauchy trató de establecer una base rigurosa para el análisis matemático. Un buen ejemplo fue su demostración del teorema del valor intermedio, que afirma que toda función real f(x) continua en un intervalo [a,b] asume cada valor posible entre f(a) y f(b) en ese intervalo. Parece obvio gracias a la idea intuitiva de continuidad y de hecho hasta Cauchy nadie pensó que fuera necesario demostrarlo, pero hoy en día todos los estudiantes de matemáticas se pelean con su demostración rigurosa (aunque sin saberlo, como homenaje en memoria de Cauchy). Por cierto, Cauchy enseñó la demostración de este teorema por primera vez en el curso que impartió en la École Royale Polytechnique en 1816. Su libro de texto de 1821, admirado por más de una generación de matemáticos, presenta dos demostraciones difere

TEORÍA DE CONJUNTOS  Clases y conjuntos 1.1.  Construcción de clases Para empezar aclaremos que una noción “indefinida”no tiene propiedades, excepto aquellas que se le asignen explÍcitamente; por lo tanto, debemos enunciar como axiomas todas las propiedades elementales que esperamos que tengan las nociones indefinidas. En nuestro sistema de teor´ıa axiom´atica de conjuntos elegimos dos nociones indefinidas: la palabra clase y la relaci´on de pertenencia ∈. Todos los objetos de nuestra teor´ıa se llaman clases. Ciertas clases, que se llamar´an conjuntos, ser´an definidas posteriormente. Todo conjunto es una clase, pero no rec´ıprocamente; una clase que no es un conjunto se llama clase propia. Comentemos brevemente sobre el “significado”que le intentamos dar a dichas nociones. En la interpretaci´on pretendida de nuestro sistema axiom´atico, la palabra clase se entiende que refiere a cualquier colecci´on de objetos. No obstante, ciertas colecciones “excesivamente grandes”pueden forma

Los fundamentos de geometría  En esta lección  ● Conocerás los puntos, las rectas, y los planos, y cómo representarlos  ● Aprenderás las definiciones de colineal, coplanar, segmento de recta, segmentos congruentes, punto medio, y semirrecta  ● Tendrás una introducción a la notación geométrica para rectas, segmentos de rectas, semirrectas, y congruencia Los puntos, las rectas, y los planos son los fundamentos de la geometría. Consulta estos tres conceptos en la página 28 de tu libro. Investigación: Modelos matemáticos En tu libro, observa las ilustraciones que están al principio de la investigación. Identifica ejemplos de puntos, rectas, y planos en las ilustraciones. Por ejemplo, las intersecciones en el mapa son puntos, las calles son rectas o segmentos de rectas, y los costados del edificio son planos. Busca otros ejemplos de puntos, rectas, y planos en las ilustraciones. Piensa en otros modelos reales de un punto, una recta, y un plano. Por ejemplo, la punta afilada de un l